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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Borassus
- 14-05-2024 21:08:02
Pour clore le débat, je dirais que $\dfrac {1 + \sqrt 5} 2$ est une solution simple, facilement mémorisable, d'une équation du seconde degré simple, elle aussi facilement mémorisable.
Que ce nombre soit précisément le nombre d'or n'entre effectivement pas en ligne de compte, car ce n'est pas en tant que tel qu'il est utilisé dans l'exercice.
Je comprends vos objections — enfin ! direz-vous — et rends donc caduc le point d'interrogation de Roro.
Bonne fin de soirée.
PS : N'abusez pas de l'aspirine, c'est mauvais pour l'estomac. :-)
- Zebulor
- 14-05-2024 21:04:42
re,
dans cette période où nous avons besoin de rire, j'ai aussi bien apprécié la blague de Roro sur le nombre de plomb !! :-)
- Borassus
- 14-05-2024 20:45:09
Bonsoir Roro,
J'ai ri de bon cœur en voyant le point d'interrogation dubitatif, à même en être pris d'une quinte de toux. :-)
Certes, mais, à avoir l'expression de la racine, la résolution de l'équation $\alpha ^3 - \alpha - 1 = 0$ n'est pas vraiment du niveau de nos amis de lycée...
(Je ne saurais la résoudre moi-même, ayant toujours été allergique aux équations de 3ème degré.)
Donc, le point d'interrogation reste tout à fait pertinent. :-)
PS : Je préfèrerais le nombre de chocolat.
- Roro
- 14-05-2024 20:12:07
Bonsoir,
Histoire d'essayer de convaincre (?) Borassus que ce nombre d'or n'a rien à voir avec la choucroute :
On aurait aussi pu utiliser la majoration $\mathrm e^x \geq 1+x+\frac12 x^2$ ce qui aurait conduit à la relation (polynomiale avec là aussi tous les coefficients égaux à $0$, $+1$ ou $-1$) : $\alpha^3-\alpha-1 \leq 0$.
On en déduit alors $\alpha \leq \widetilde{\varphi}$ où $\widetilde{\varphi} = \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{27}{2}-\frac{3 \sqrt{69}}{2}}+\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(9+\sqrt{69}\right)}}{3^{2/3}}$.
Si on appelle $\widetilde{\varphi} \approx 1.32472$ le nombre de plomb, je pense qu'il y a une piste à creuser :-p
Roro.
P.S. Pour info, la solution $\alpha$ vaut approximativement $1.19968$.
- Borassus
- 14-05-2024 19:36:56
Je crois que l'explication se trouve peut-être dans l'attrait que représentent ces équations : elles sont simples car n'ayant pas d'autres coefficients que $1$ et $-1$.
- Borassus
- 14-05-2024 19:33:15
Snif ! Je désespère Cailloux ! :-(
Je note qu'un certain nombre d'exercices tournent autour des équations
$x^2 + x -1 = 0$ ,
$x^2 - x -1 = 0$ ,
$-x^2 + x + 1 = 0$ ,
$-x^2 - x + 1 = 0$
aboutissant toutes, sans le dire explicitement, au nombre d'or.
Cette observation revient suffisamment de fois pour faire douter qu'il s'agisse d'un phénomène fortuit.
Je n'aurais pas initié ce débat si ce n'était pas la n-ième fois (intuitivement, de l'ordre de 50 ou 60, peut-être davantage) que j'ai la surprise de voir apparaître le nombre d'or dans un exercice de Première ou de Terminale semblant n'avoir aucun rapport avec celui-ci, souvent, comme ici, à la fin de l'exercice.
- cailloux
- 14-05-2024 18:44:59
Pourquoi alors faire démonter en première partie que $e^{2\alpha}$ est égale à la fraction spécifiée en $\alpha$ ?
Car c'est bien cette égalité, et pas une autre, qui aboutit au nombre d'or !
Relire peut-être 17h14'08''
Cette égalité, (ce qui est souligné en gras) aboutit au message cité mais n'a aucun lien direct avec le nombre d'or
Pour le coup, j'abandonne.
- Borassus
- 14-05-2024 18:38:32
Notre ami Borassus semble penser qu'en retournant un quelconque caillou, on trouve systématiquement ce nombre d'or.
En retournant plusieurs cailloux, on trouve toute une mine de nombres d'or. :-)
- Borassus
- 14-05-2024 18:33:28
Mais pourquoi pas $100000$ ?
Pourquoi alors faire démonter en première partie que $e^{2\alpha}$ est égale à la fraction spécifiée en $\alpha$ ?
Car c'est bien cette égalité, et pas une autre, qui aboutit au nombre d'or !
Hypothèse : L'auteur est probablement parti de la symétrie des signes que je mentionnais plus haut.
Le fait d'intégrer $\alpha$ dans $f$ est une façon naturelle de faire dans ce genre d'exercice.
(Un classique du genre : étude de deux fonctions $f$ et $g$, la dérivée de $f$ faisant intervenir $g$, et $g$ s'annulant pour une valeur $\alpha$. On demande en fin d'exercice de montrer que $f(\alpha)$ s'écrit selon une certaine expression (1) .)
Or, cette intégration aboutit à l'égalité demandée, qui aboutit à l'inéquation $\alpha ^2 - \alpha - 1 \le 0$, qui, elle, aboutit à notre fameux nombre d'or.
(1) Voici un document que j'avais écrit il y a quelque temps sur ce genre de question : https://www.cjoint.com/c/NEorDi3H8CD
Je conseille très vivement à nos amis de Terminale de mémoriser la technique. Elle pourra leur être d'un joli secours le jour J...
- cailloux
- 14-05-2024 18:20:00
Oui Zebulor ce qui confirme que le nombre d'or n'est ici qu'une aimable plaisanterie.
Notre ami Borassus semble penser qu'en retournant un quelconque caillou, on trouve systématiquement ce nombre d'or.
Ce n'est évidemment pas le cas ici !
- Zebulor
- 14-05-2024 18:12:00
Bonsoir,
En effet cailloux !! montrer que $\alpha$ est plus petit que 1.5 peut par exemple suffire...
- Borassus
- 14-05-2024 18:10:02
Re,
ou bien il se trouve que partant de cette fonction $f$ on est tombé par hasard sur ce nombre qui vaut de l'or ?!
Quel est le cours actuel du nombre d'or ? :-)
Il est possible en effet que l'auteur de l'exercice ait juste voulu jouer sur la symétrie des signes : 1 - x, exponentielle de + x ; 1 + x, exponentielle de - x.
[ Comment faire pour colorier à l'intérieur d'une expression en LaTeX ? ]
Ceci dit, je note qu'un certain nombre d'exercices tournent autour des équations
$x^2 + x -1 = 0$ ,
$x^2 - x -1 = 0$ ,
$-x^2 + x + 1 = 0$ ,
$-x^2 - x + 1 = 0$
aboutissant toutes, sans le dire explicitement, au nombre d'or.
Cette observation revient suffisamment de fois pour faire douter qu'il s'agisse d'un phénomène fortuit.
- cailloux
- 14-05-2024 18:00:52
M'enfin ? La fin de cette question 3)b) consiste à exhiber un majorant de $\alpha$. Evidemment le nombre d'or convient. Mais pourquoi pas $100000$ ? ou beaucoup mieux que ce nombre d'or qui n'a rien à faire ici (je le redis : le concepteur de l'énoncé est facétieux) $1.2$ ?
- Borassus
- 14-05-2024 17:48:01
Je n'avais pas compris que tu faisais allusion à ma proposition de l'énoncé, l'extrait que tu cites concernant l'échange entre nous à propos mon étonnement de voir arriver le nombre d'or.
On peut effectivement limiter l'énoncé à
En vous souvenant que, pour tout réel $x$, $e^x \ge 1 + x$, montrer que $\alpha$ est compris entre $1$ et $\dfrac {1 + \sqrt 5} 2$.
en laissant ceux qui le connaissent s'apercevoir qu'il s'agit du nombre d'or.
- Zebulor
- 14-05-2024 17:45:18
Re,
ou bien il se trouve que partant de cette fonction $f$ on est tombé par hasard sur ce nombre qui vaut de l'or ?!
Sans guidage à ce niveau lycée pas simple en effet que cette fin d'exercice