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Hichsom

Invité

Étude d.'une fonction exp

Bonjour,

Une idée concernant la question 3 b (la dernière question) ?

Merci d'avance

Partie I: On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=(1-x) e^x+(1+x) e^{-x}$ $\mathscr{E}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O ; \vec{i} ; \vec{j})$
1.a) Montrer que: $\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=-\infty$.
       On rappelle que : $\left(\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^x}{x}=+\infty\right)$. Interpréter géométriquement ce résultat.
  b) Montrer que : $f(x)=f(-x)$ pour tout nombre réel $x$. Interpréter géométriquement ce résultat.
2. a) Montrer que : $f^{\prime}(x)=-x\left(e^x+e^{-x}\right)$ pour tout nombre réel $x$.
    b) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
    c) En déduire que: $(\forall x \in \mathbb{R}) ; f(x) \leq 2$. 
3.a) Montrer qu'il existe un réel unique $\alpha$ tel que: $f(\alpha)=\mathbf{0}$ et $\alpha>1$.
   b) Montrer que: $e^{2 \alpha}=\frac{\alpha+1}{\alpha-1}$; en déduire que: $\alpha \leq \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Dernière modification par yoshi (14-05-2024 15:18:52)

Zebulor

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Re : Étude d.'une fonction exp

Bonjour,
l'égalité du 3b) ne semble être qu'une autre écriture de l'équation $f(\alpha)=0$

Hichsom

Invité

Re : Étude d.'une fonction exp

Merci pour votre réponse
Je sais mais pour inégalité de \alpha

Zebulor

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Re : Étude d.'une fonction exp

Re,
mais j'imagine que la suite de la question b) te bloque...
Alors je propose une solution par cette méthode :
1) prendre le ln de chaque membre de l'égalité du 3b)
2)tu dois avoir une expression du style $\dfrac {\alpha+1}{\alpha-1}$ que tu peux écrire sous la forme d'une somme de 1 et d'une quantité qui dépend de $\alpha$
3)il s'agit ensuite de comparer ln(1+x) et x

Dernière modification par Zebulor (14-05-2024 16:21:21)

Borassus

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Re : Étude d.'une fonction exp

Bonjour Hichsom et Zebulor,

l'égalité du 3b) ne semble être qu'une autre écriture de l'équation $f(\alpha) = 0$

Zebulor, tu m'as devancé de quelques secondes : j'ai découvert ton message au moment où j'allais saisir le mien qui faisait part de la même indication.

Maintenant, Hichsom, il faut réintégrer l'expression de $e^{2 \alpha}$ dans $f'(\alpha)$ en précisant que celle-ci est négative...

Dernière modification par Borassus (14-05-2024 16:24:30)

Zebulor

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Re : Étude d.'une fonction exp

Bonjour Borassus,
cette fois ci c'est toi qui m'a devancé au sprint :-)
Ah mais je n'avais pas remarqué qu'on pouvait passer par la dérivée..

Dernière modification par Zebulor (14-05-2024 16:23:55)

Borassus

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Re : Étude d.'une fonction exp

:-)

Borassus

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Re : Étude d.'une fonction exp

Je sais par expérience que ce genre de question joue à la fois sur $f(\alpha)$ et sur $f'(\alpha)$.
D'où le réflexe (je reconnais humblement, pas immédiat, car j'avais précisément oublié l'expérience citée ci-dessus) de voir du côté de la dérivée :-) .

Dernière modification par Borassus (14-05-2024 16:37:58)

Borassus

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Re : Étude d.'une fonction exp

Maintenant, je voudrais qu'on m'explique comment l'auteur de l'exercice a procédé dans sa conception pour faire in fine apparaître le nombre d'or ??

Hichsom

Invité

Re : Étude d.'une fonction exp

Merci borassus
Je note l'idée d'intégrer e^{2\alpha} dans l'expression de f'  n'est assez claire
Merci de d'expliquer plus

Borassus

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Re : Étude d.'une fonction exp

Je sais par expérience que ce genre de question joue à la fois sur $f(\alpha)$ et sur $f'(\alpha)$.

Il semble cependant que je me sois précipité et qu'il s'agisse d'une fausse piste.  :-(

Dernière modification par Borassus (14-05-2024 16:49:39)

Roro

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Re : Étude d.'une fonction exp

Bonsoir,

La méthode de Zebulor de son message #4 semble bien fonctionner.

De façon équivalente on peut directement - sans passer par le logarithme - utiliser l'inégalité $\mathrm e^x \geq 1+x$.

Mais j'ai quand même l'impression que cette fin de question est plus difficile que les précédentes car on utilise soit $\mathrm e^x \geq 1+x$, soit $\ln(1+x)\leq x$... sans indication ! A la vue des autres questions, je pense qu'il aurait été judicieux d'indiquer cette inégalité.

Je ne vois pas comment on pourrait trouver cette borne sinon.

Et pour répondre à Borassus, le fait de voir apparaitre le nombre d'or est fortuit. C'est justement parce qu'on compare l'exponentiel (ou le logarithme) à un polynôme... et qu'on obtient une borne qui est racine d'un polynôme... mais on pourrait trouver d'autres bornes plus (ou moins) fine indépendamment du nombre d'or.

Roro.

Dernière modification par Roro (14-05-2024 16:59:04)

Borassus

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Re : Étude d.'une fonction exp

Bonsoir Roro,

Merci de cette indication !
Effectivement, en utilisant directement $e^{2 \alpha} \ge 1 + 2\alpha$, on aboutit à l'équation $\alpha^2 - \alpha - 1 < 0$, qui revient à encadrer $\alpha$ entre $\dfrac {1 - \sqrt 5} 2$ et $\dfrac {1 + \sqrt 5} 2$.

Et comme $\alpha > 1$...

Oui, cette fin de question est plus difficile que les précédentes !
Oui, il aurait été judicieux de rappeler l'inégalité avec l'exponentielle !

Dernière modification par Borassus (14-05-2024 17:08:19)

cailloux

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Re : Étude d.'une fonction exp

Bonjour,
Il me semble qu'il est acquit que $e^{2\alpha}=\dfrac{\alpha+1}{\alpha-1}$
D'où l'idée tout à fait élémentaire au niveau lycée d'étudier la fonction $g:\,x\mapsto e^{2x}-\dfrac{x+1}{x-1}$ sur $]1,+\infty[$
$g$ est strictement croissante sur cet intervalle et le calcul de $g\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)>0$ permet de conclure avec les avatars du TVI.
Que le nombre d'or atterrisse ici n'est qu'une facétie de l'énoncé.

Borassus

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Re : Étude d.'une fonction exp

Et pour répondre à Borassus, le fait de voir apparaitre le nombre d'or est fortuit. C'est justement parce qu'on compare l'exponentielle (ou le logarithme) à un polynôme... et qu'on obtient une borne qui est racine d'un polynôme... mais on pourrait trouver d'autres bornes plus (ou moins) fine indépendamment du nombre d'or.

Certes, mais l'écriture de l'inégalité $e^{2\alpha} \ge 1 + 2\alpha$ aboutit précisément à la borne du nombre d'or !

Est-il possible que l'auteur ait conçu cet exercice à l'envers en partant volontairement de l'inéquation $\alpha^2 - \alpha - 1 < 0$ ?

(Je suis toujours surpris de découvrir le nombre d'or à la fin d'un exercice ! Et me demande toujours comment l'auteur de l'exercice a procédé !)

Borassus

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Re : Étude d.'une fonction exp

Bonsoir Cailloux,

L'utilisation de l'inégalité me semble plus jolie. (D'autant plus que, très souvent, la dernière question fait appel à une certaine finesse. C'est pour cela qu'elle est souvent la plus difficile.)

Je pense que l'énoncé de la seconde partie de la question aurait dû être

En vous souvenant que, pour tout réel $x$, $e^x \ge 1 + x$, montrer que $\alpha$ est compris entre $1$ et le nombre d'or $\dfrac {1 + \sqrt 5} 2$.

cailloux

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Re : Étude d.'une fonction exp

Bonjour Borassus,
Il me semble que cette affirmation :

Certes, mais l'écriture de l'inégalité $e^{2\alpha}≥1+2\alpha$ aboutit précisément à la borne du nombre d'or !

est, comment dire, téméraire ?

Dernière modification par cailloux (14-05-2024 17:34:05)

Borassus

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Re : Étude d.'une fonction exp

A savoir ?

cailloux

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Re : Étude d.'une fonction exp

À savoir que le nombre d'or atterrit ici comme un cheveu sur la soupe.

Zebulor

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Re : Étude d.'une fonction exp

Re,
ou bien il se trouve que partant de cette fonction $f$ on est tombé par hasard sur ce nombre qui vaut de l'or ?!

Sans guidage à ce niveau lycée pas simple en effet que cette fin d'exercice

Borassus

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Re : Étude d.'une fonction exp

Je n'avais pas compris que tu faisais allusion à ma proposition de l'énoncé, l'extrait que tu cites concernant l'échange entre nous à propos mon étonnement de voir arriver le nombre d'or.

On peut effectivement limiter l'énoncé à

En vous souvenant que, pour tout réel $x$, $e^x \ge 1 + x$, montrer que $\alpha$ est compris entre $1$ et  $\dfrac {1 + \sqrt 5} 2$.

en laissant ceux qui le connaissent s'apercevoir qu'il s'agit du nombre d'or.

cailloux

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Re : Étude d.'une fonction exp

M'enfin ? La fin de cette question 3)b) consiste à exhiber un majorant de $\alpha$. Evidemment le nombre d'or convient. Mais pourquoi pas $100000$ ? ou beaucoup mieux que ce nombre d'or qui n'a rien à faire ici (je le redis : le concepteur de l'énoncé est facétieux) $1.2$ ?

Borassus

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Re : Étude d.'une fonction exp

Re,
ou bien il se trouve que partant de cette fonction $f$ on est tombé par hasard sur ce nombre qui vaut de l'or ?!

Quel est le cours actuel du nombre d'or ?  :-)

Il est possible en effet que l'auteur de l'exercice ait juste voulu jouer sur la symétrie des signes : 1 - x, exponentielle de + x ; 1 + x, exponentielle de - x.

[ Comment faire pour colorier à l'intérieur d'une expression en LaTeX ? ]

Ceci dit, je note qu'un certain nombre d'exercices tournent autour des équations
$x^2 + x -1 = 0$ ,
$x^2 - x -1 = 0$ ,
$-x^2 + x + 1 = 0$ ,
$-x^2 - x + 1 = 0$
aboutissant toutes, sans le dire explicitement, au nombre d'or.
Cette observation revient suffisamment de fois pour faire douter qu'il s'agisse d'un phénomène fortuit.

Zebulor

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Re : Étude d.'une fonction exp

Bonsoir,
En effet cailloux !! montrer que $\alpha$ est plus petit que 1.5 peut par exemple suffire...

cailloux

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Re : Étude d.'une fonction exp

Oui Zebulor ce qui confirme que le nombre d'or n'est ici qu'une aimable plaisanterie.
Notre ami Borassus semble penser qu'en retournant un quelconque caillou, on trouve systématiquement ce nombre d'or.
Ce n'est évidemment pas le cas ici !

Dernière modification par cailloux (14-05-2024 18:21:16)