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Hend_mhdy

Invité

f+g avec f mesurable et g mesurable

Bonjour,
S'ils vous plaît, supposons  on a f et g deux fonctions mesurables de (X,m)  à valeurs dans Rbar .
Quel est le domaine de définition de la fonction f+g ?
Dans quels cas il est défini ?

Eust_4che

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Re : f+g avec f mesurable et g mesurable

Bonjour,

La question de la mesurabilité n'a rien à voir ici. Il est habituel de "prolonger" l'addition de deux réels à $[- \infty, + \infty]$ en adoptant les conventions suivantes :

\begin{align}
(+ \infty) + (+ \infty) & = (+ \infty) \\
(+ \infty) + x = x + (+ \infty) & = (+ \infty) \\
x + (- \infty) = (- \infty) + x & = (- \infty) \\
(- \infty) + (- \infty) & = (- \infty)
\end{align}

pour tout nombre réel $- \infty < x < + \infty$, avec $- (+ \infty) = (- \infty)$. Avec ces conventions, la somme de deux fonctions à valeurs dans $[- \infty, + \infty]$ est définie si pour tout $x \in X$, la somme des éléments $f(x)$ et $g(x)$ est définie dans $[- \infty, + \infty]$.

E.

Hend_mhdy

Invité

Re : f+g avec f mesurable et g mesurable

Mais si f(x)=+00 et g(X) = -00, la fonction ne sera pas définie !!

Eust_4che

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Re : f+g avec f mesurable et g mesurable

Je ne comprend pas la remarque... Je n'ai nul part écrit que la somme de $- \infty$ et de $+ \infty$ était définie.

bridgslam

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Re : f+g avec f mesurable et g mesurable

Bonjour,

En notant $F_+$ la partie mesurable $f^{-1} (+\infty)$ ( et les autres notations analogues) , vous devez exprimer l'ensemble de définition D à partir de X et de $F_+$  $F_-$  $G_+$ $G_-$ , par exemple D = X \ ...... ( remplacer les pointillés)
Pour la suite , vous aurez normalement à considérer l'espace mesurable D muni de la tribu trace de la tribu initiale $T$ sur X,  $T_D$ sur D, et la restriction de la mesure $m$, $m_D$ à $T_D$ , afin d'obtenir un espace mesuré tel que f+g soit définie (et $m_D $-mesurable).

A.

Dernière modification par bridgslam (12-03-2024 11:55:57)