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Je ne comprend pas la remarque... Je n'ai nul part écrit que la somme de $- \infty$ et de $+ \infty$ était définie.

Bonjour,

La question de la mesurabilité n'a rien à voir ici. Il est habituel de "prolonger" l'addition de deux réels à $[- \infty, + \infty]$ en adoptant les conventions suivantes :

\begin{align}
(+ \infty) + (+ \infty) & = (+ \infty) \\
(+ \infty) + x = x + (+ \infty) & = (+ \infty) \\
x + (- \infty) = (- \infty) + x & = (- \infty) \\
(- \infty) + (- \infty) & = (- \infty)
\end{align}

pour tout nombre réel $- \infty < x < + \infty$, avec $- (+ \infty) = (- \infty)$. Avec ces conventions, la somme de deux fonctions à valeurs dans $[- \infty, + \infty]$ est définie si pour tout $x \in X$, la somme des éléments $f(x)$ et $g(x)$ est définie dans $[- \infty, + \infty]$.

E.