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MBALA G.B.Fabien

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l'ensemble des polynômes

bonsoir cher tous !
besoin d'aide sur l' exercice d'algèbre sur les polynômes suivant :
On appelle nombre algébrique tout nombre complexe racine d'un polynôme non nul de $\mathbb{Q}$.On suppose que $\mathbb{C}$ est un $\mathbb{Q}$ -espace vectoriel.On se propose de montrer que z$\in \mathbb{C}$ est algébrique ssi$ (z^n)_{\mathbb{N}}liée $$(i.e. la famille \{1,z^2,...,z^n \} est liée $.Aussi,montrer que l'ensemble des nombres algébriques est un corps.
1) Montrer que z$\in \mathbb{C}$ est algébrique ssi  il existe une famille $(\lambda_i)$ presque nulle de $\mathbb{Q}$ telle que $\sum \lambda _i z^i=0$
2) montrer que 0 et 1 sont algébriques,et déduire que l'ensemble des nombres est non vide.
3)Soit a et b deux nombres algébriques.On pose $\mathbb{Q[a]}=\{P(a)/ p \in \mathbb{Q}[x]\}$ ,$\mathbb{Q[a,b]}=\{P(a)/ p(a,b) \in \mathbb{Q}[x,y]\}$ .
a)montrer que $\mathbb{Q}$contenu dans$ \mathbb{Q[a]}$ qui est contenu dans $ \mathbb{Q}[a,b]$
b)...

Dernière modification par MBALA G.B.Fabien (04-03-2024 10:30:36)

Roro

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Re : l'ensemble des polynômes

Bonsoir,

Merci MBALA G.B.Fabien d'avoir ouvert une nouvelle discussion; mais il y a encore quelques points qui me chiffonnent :

Que signifie la fin de la phrase suivante ?

On se propose de montrer que z$\in \mathbb{C}$ est algébrique ssi $(z^n)_{\mathbb{N}}$.

Concernant la première question, qu'est ce que tu as essayé ? Autrement dit, qu'est ce que signifie "nombre algébrique" pour toi car j'ai l'impression que c'est quasiment la définition que tu as donné qui fournit la réponse directement !

La seconde question est triviale, je ne sais pas dans quel cadre cet exercice est posé !

Quant à la troisième question, il y a un problème de parenthésage dans ta définition de $\mathbb Q[a]$. Ceci étant dit, la réponse à cette question semble elle aussi assez directe. Qu'as-tu essayé ?

Roro.

P.S. Il vaut mieux donner l'énoncé exacte, et complet (et donner les sources) pour qu'on comprenne la philosophie des questions...

Dernière modification par Roro (04-03-2024 07:55:44)

MBALA G.B.Fabien

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Re : l'ensemble des polynômes

bonjour !
je pense c'est déjà OK...
Pour ce que j'ai essayé, j'ai de la peine à tous saisir,au fait si je commence par cette introduction, c'est pour arriver aux questions qui m'ont dérangé...Au fait l'exercice est trop long est constructif,je ne pouvais pas parler de la question concernée sans le début ...
J'aurais d'ailleurs souhaité que ce soit sur WhatsApp par exemple, pour que je puisse filmer tout l'exercice et proposer ce que j'ai pu faire,car c'est sous support physique..
Pour les volontaires, bien vouloir me donner un numéro de compte ou adresse sur quoi on peut causer.... C'est vraiment fastidieux de tout saisir!!

Dernière modification par MBALA G.B.Fabien (04-03-2024 12:21:42)

Roro

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Re : l'ensemble des polynômes

Bonjour,

Si tu as fait les premières questions, tu peux nous donner juste les résultats et aller comme ça jusqu'aux questions qui te posent problème.

L'idée du forum est de partager avec la communauté... nous ne sommes pas des profs particuliers qui allons te corriger ton exercice personnellement via une messagerie privée.

Donc, actuellement tu en es où dans l'exercice ?

Es-tu d'accord pour dire
1/ que $0$ et $1$ sont algébriques ?
2/ que $\mathbb Q \subset \mathbb Q[a] \subset \mathbb Q[a,b]$ ?

Roro.

MBALA G.B.Fabien

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Re : l'ensemble des polynômes

bonsoir !
D'accord!
1) Soit z un complexe,
Supposons que z est algébrique,
Alors ,il existe un polynôme non nul à une indéterminée dont z est racine.
soit P ce polynôme,
puisque pour tout polynôme $ P \in \mathbb{Q[X]}$,$P$ s'écrit de manière unique sous la forme $\sum _{i\in \mathbb{N}}\lambda _i x^i$,on a
$P=\sum _{i\in \mathbb{N}}\lambda _i z^i =0$
Ce qui montre l'existence d'une famille $(\lambda _i)$ presque nulle telle que
$P=\sum _{i\in \mathbb{N}}\lambda _i z^i =0.$
La réciproque passe aussi...
2)Il existe des polynômes tels que $P=X et G=1-X$dont 0 et 1 sont racines , donc ceux -ci sont algébriques...On déduit par suite que l'ensemble des nombres algébriques est non vide,
3)je doute de mon raisonnement sur cette question..

Roro

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Re : l'ensemble des polynômes

Bonsoir,

Disons OK pour les deux premières questions...

Pour la troisième, il faut d'abord montrer que $\mathbb Q \subset \mathbb Q[a]$.

D'après ta définition de $\mathbb Q[a]$, tu dois donc, pour chaque $\lambda \in \mathbb Q$, trouver un polynôme $P\in \mathbb Q[X]$ tel que $P(a)=\lambda$. A mon avis, il y a un polynôme qui marche bien, c'est le polynôme constant : $P=\lambda$.

Ré-écris la définition correcte de $\mathbb Q[a,b]$ et tu verras que c'est la même idée pour montrer que $\mathbb Q[a] \subset \mathbb Q[a,b]$.

Roro.

MBALA G.B.Fabien

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Re : l'ensemble des polynômes

bonsoir !
j'ai du mal à comprendre votre raisonnement..
puisqu'il s'agit d'une inclusion,ne faut t-il judicieusement pas montrer que pour tout élément pris dans le premier , Celui ci est dans le second ("le grand")... Au cas échéant,utiliser la contraposée ou l'absurdité ??
Sauf si j'ai erré,essayez de revoir votre raisonnement..
Merci !

Roro

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Re : l'ensemble des polynômes

Bonsoir,

Je vais essayer de ne pas trop "errer" :

1) Tu veux montrer que $\mathbb Q \subset \mathbb Q[a]$.

2) Soit $\lambda \in \mathbb Q$. Tu veux donc montrer que $\lambda \in \mathbb Q[a]$.

3) Mais, dire que $\lambda \in \mathbb Q[a]$ signifie qu'il existe un polynôme $P\in \mathbb Q[X]$ tel que $P(a)=\lambda$.

4) Tu veux donc trouver un tel polynôme.

5) Je prétends que si tu choisis le polynôme $P(X)=\lambda$ qui est bien à coefficient dans $\mathbb Q$ alors tu auras bien un polynôme tel que $P(a)=\lambda$.

6) Tu as donc bien montré que $\lambda \in \mathbb Q[a]$.

J'ai numéroté chacune des étapes. Dis moi celle qui te pose problème !

Roro.

Dernière modification par Roro (06-03-2024 22:19:02)

MBALA G.B.Fabien

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Re : l'ensemble des polynômes

bonsoir !
Bonne idée de votre part !
la numéro 3 me pose problème...

Roro

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Re : l'ensemble des polynômes

Bonsoir,

Pour le point 3, j'ai simplement écrit la définition de $\mathbb Q[a]$ comme tu l'avais indiquée lors de ton premier post.

Roro.

Dernière modification par Roro (11-03-2024 22:27:02)