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walterwhitecoocking

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Rang d'une matrice bilinéaire

Bonjour à tous,

J'ai un petit soucis pour montrer que le rang d'une matrice associé à une forme bilinéaire ne dépend pas du choix de la base E (sachant que je ne peut pas utiliser que dim(ker(f))= dim(E)-rg(f)) où  E est l'espace vectoriel tel que f:ExE-->K)

Si vous avez une piste je suis preneur.

Eust_4che

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Re : Rang d'une matrice bilinéaire

Bonjour,

Un indice : utilise l'espace dual. Autrement dit, regarde ta forme bilinéaire $b$ comme une certaine application de $E$ dans son dual $E^*$. Il y a deux façons d'obtenir une application linéaire à partir de $b$, mais on peut trouver un certain lien entre les deux, qui va indiquer que ce que tu cherches ne dépend que de $b$ (et non de l'une ou l'autre des applications obtenues).

À la relecture, je me rend compte que je suis peut-être un peu trop sibyllin, à ne pas vouloir donner explicitement la solution. N'hésite pas à demander plus de précisions sur la démarche que je propose !

E.

Dernière modification par Eust_4che (24-02-2024 17:58:07)

Michel Coste

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Re : Rang d'une matrice bilinéaire

Bonsoir,
La formule de changement de base pour la matrice d'une forme bilinéaire donne l'invariance du rang.

walterwhitecoocking

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Re : Rang d'une matrice bilinéaire

Bonjour merci d'avoir pris le temps de me répondre,

J'imagine qu'il faut utiliser l'application linéaire Q définit comme : Q : E--->E* où Q(y)= f(-,y) avec la composante de gauche qui varie sur E et par la construction de Q pour un y fixé. Q est linéaire on peut alors regarder d'après le théorème du rang les dimensions de : dim(ker(A)) + rg(A) = dim(E) où A est la matrice de Q dans une base V et son dual V*. On peut remarquer que dim(Ker(A)) ne dépend pas du choix de la base (ker(A) étant un sous espace vectoriel de E). Ainsi rg(A) ne dépend pas du choix de la base, à partir de la peut-on identifier rg(A) au rang de la matrice de f dans une base B ? Ou on peut seulement identifier le rang de f et q ça forme quadratique associé étant donnée que les matrices de f et q dans une base fixé sont les mêmes ?

walterwhitecoocking

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Re : Rang d'une matrice bilinéaire

Bonsoir,
La formule de changement de base pour la matrice d'une forme bilinéaire donne l'invariance du rang.

Bonjour, si on passe par ce chemin la ce qui est sous-jacent est que le changement de base pour une matrice bilinéaire conserve en quelque sorte la nature de l'application bilinéaire et que donc la dimension du noyau et du rang de deux matrices A et B dans deux bases différentes sont invariants par définition du changement de base ?

Eust_4che

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Re : Rang d'une matrice bilinéaire

Le théorème du rang s'écrit :

$$ \dim \textrm{Im} Q + \dim \ker Q = \dim E$$

Tu passes à ta version en associant à ton application linéaire une matrice. Fixe une base de $E$, sa base dual dans $E^*$ et regarde la forme de la matrice représentant $Q$ par rapport à ces deux bases. Tu auras alors la réponse à tes questions.

E.

Michel Coste

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Re : Rang d'une matrice bilinéaire

Pourrais-tu écrire la formule de changement de base pour la matrice d'une forme bilinéaire ? Cela évitera de discuter dans le vide.