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Le théorème du rang s'écrit :

$$ \dim \textrm{Im} Q + \dim \ker Q = \dim E$$

Tu passes à ta version en associant à ton application linéaire une matrice. Fixe une base de $E$, sa base dual dans $E^*$ et regarde la forme de la matrice représentant $Q$ par rapport à ces deux bases. Tu auras alors la réponse à tes questions.

E.

Bonjour merci d'avoir pris le temps de me répondre,

J'imagine qu'il faut utiliser l'application linéaire Q définit comme : Q : E--->E* où Q(y)= f(-,y) avec la composante de gauche qui varie sur E et par la construction de Q pour un y fixé. Q est linéaire on peut alors regarder d'après le théorème du rang les dimensions de : dim(ker(A)) + rg(A) = dim(E) où A est la matrice de Q dans une base V et son dual V*. On peut remarquer que dim(Ker(A)) ne dépend pas du choix de la base (ker(A) étant un sous espace vectoriel de E). Ainsi rg(A) ne dépend pas du choix de la base, à partir de la peut-on identifier rg(A) au rang de la matrice de f dans une base B ? Ou on peut seulement identifier le rang de f et q ça forme quadratique associé étant donnée que les matrices de f et q dans une base fixé sont les mêmes ?

Bonjour,

Un indice : utilise l'espace dual. Autrement dit, regarde ta forme bilinéaire $b$ comme une certaine application de $E$ dans son dual $E^*$. Il y a deux façons d'obtenir une application linéaire à partir de $b$, mais on peut trouver un certain lien entre les deux, qui va indiquer que ce que tu cherches ne dépend que de $b$ (et non de l'une ou l'autre des applications obtenues).

À la relecture, je me rend compte que je suis peut-être un peu trop sibyllin, à ne pas vouloir donner explicitement la solution. N'hésite pas à demander plus de précisions sur la démarche que je propose !

E.