Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

Pour $1 \leqslant k \leqslant n, ~\ln\big(k(n-k+1)\big) \geqslant \ln n.$

En ajoutant les termes deux à deux verticalement, on a :

$$2\ln(n!) = \ln(1 \times n) + \ln (2 \times (n - 1)) + \cdots + \ln ((n-1) \times 2) + \ln(n \times 1) $$

La somme étant à $n$ termes : $2 \ln (n!) \geqslant n \ln(n).$

Et la minoration en découle.

Merci Michel !

Bonsoir,

Oui en effet on aurait plutôt :

$$\ln n! = \sum_{k=2}^n \ln k \geqslant \int_{1}^{n} \ln t ~\mathrm{d}t.$$

Pour $n$ grand, on a : $n \leqslant \dfrac{n \ln n}{2}.$ (j'ai vérifié graphiquement), on peut donc écrire :

$$\ln n! \geqslant n \ln n -n+1 \geqslant n \ln n - n \geqslant n \ln n - \frac{n \ln n}{2} = \frac{n \ln n}{2}.$$

Merci Glozi !

Bonsoir,
Est-ce que ton intégrale ne part plutôt de $1$ au lieu de $2$ ?
Sinon, tu peux juste essayer de montrer que pour $n$ grand alors $n\ln(n)-n+1\geq \frac{n\ln(n)}{2}$
(indice qu'est ce qui est le plus grand entre $n$ et $n\ln(n)/2$ pour $n$ grand ?).
Bonne soirée