Forum de mathématiques - Bibm@th.net

dr.balaisi

Membre

Inscription : 30-01-2024

Messages : 11

décomposition d'argument d'u nombre complexe

bonjour à tous,

j'ai une question concernant exercice 7 Forme algébrique, le retour (nombres complexes)
pour z2 on trouve que l'argument est 35 π/3, donc on le décompose, ma question est ce qu'il y a une règle pour décomposer l'argument car il y a d'autres décompositions possible. De mémé pour Z3

Merci d'avance

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : décomposition d'argument d'u nombre complexe

Bonjour,
Peux-tu reformuler ta question de manière compréhensible sans qu'on ait à se reporter à l'ouvrage que tu cites ? Que veux-tu dire par "décomposer l'argument" ? Trouver l'argument principal ?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : décomposition d'argument d'u nombre complexe

Bonjour,

  Je pense que dr.balaisi fait référence à cet exercice - il fallait bien connaitre le site pour le retrouver! - et en particulier à l'écriture sous forme algébrique de $e^{i\frac{35\pi}3}$.

La méthode générale, c'est de retrouver un argument entre $0$ et $2\pi$, ou entre $-\pi$ et $\pi$. Par exemple, ici, on peut chercher l'entier pair le plus proche (par valeur inférieure) de $35/3$ : $\frac{35}3=10+\frac{5}3.$ On en déduit que $\frac{35\pi}3=10\pi+\frac{5\pi}3$ ce qui permet de conclure facilement.

F.

dr.balaisi

Membre

Inscription : 30-01-2024

Messages : 11

Re : décomposition d'argument d'u nombre complexe

exactement, je parle de cet exercice là, est ce que je peux trouver des ressources ici pour cet astuce car j'ai pas bien compris pourquoi on doit trouver un entier pair, car on peut trouver d'autres décompositions différentes.
En tout cas merci pour l'explication

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : décomposition d'argument d'u nombre complexe

Ce n'est pas une astuce... Tu veux te ramener entre 0 et 2pi, donc tu cherches le nombre de fois où tu dois enlever 2pi pour te ramener dans cet intervalle. Et un multiple de $2\pi$, c'est un entier pair multiplié par $\pi$.

Black Jack

Membre

Inscription : 15-12-2017

Messages : 509

Re : décomposition d'argument d'u nombre complexe

Bonjour,

Par convention, l'argument principal d'un complexe est compris dans ]-Pi ; Pi]

On peut aussi rechercher l'argument compris dans [0 ; 2Pi[ ... mais ce n'est pas celui nommé "principal".

Ici, un argument du nombre complexe est 35Pi/3, on peut trouver l'argument principal pratiquement directement ...
Je montre quand même une possible procédure (entre plusieurs autres) pour les cas un peu plus difficiles.

arg(z) = 35Pi/3 + 2 k.Pi (avec k dans Z)
Il faut trouver la valeur de k pour que l'argument se trouve dans ]-Pi ; Pi] (si on cherche l'argument principal de z)

En fort détaillé :

-Pi < 35Pi/3 + 2 k.Pi <= Pi
-1 < 35/3 + 2 k <= 1
-1 - 35/3 < 2k <= 1 - 35/3
-38/3 < 2k <= -32/3
-19/3 < k <= -16/3
-6,33... < k <= -5,33...

et comme k doit être entier, on a k = -6

arg principal de z = 35.Pi/3 + 2*(-6)*Pi = 35Pi/3 - 12.Pi = -Pi/3

dr.balaisi

Membre

Inscription : 30-01-2024

Messages : 11

Re : décomposition d'argument d'u nombre complexe

merci