Forum de mathématiques - Bibm@th.net

PDM!/-+

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Espace vectoriel

Bonjour, j’aurai besoin d’aide sur un exercice

Soient E = C([0;pi], R), F = {f appartient à E ,f(0) =f(pi/2)=f(pi)} et G = Vect(sin,cos).

Montrer que F et G sont des sous espaces vectoriels
supplémentaires de E

Merci d’avance aux personnes pouvant m’aider

Dernière modification par PDM!/-+ (12-02-2024 17:17:00)

Michel Coste

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Re : Espace vectoriel

Bonjour,
Premièrement tu t'es trompé de section : ce n'est visiblement pas un exercice de niveau collège-lycée !
Deuxièmement : qu'as-tu essayé ?
Dans ce genre de problème, il est souvent commode d'employer la méthode d'analyse-synthèse : soit $u\in E$, on suppose qu'il existe une décomposition $u=f+g$ avec $f\in F$ et $g\in G$. On essaie de voir si ça permet de déterminer $f$ et $g$ à partir de $u$ (partie "analyse") puis on vérifie que ce qu'on a trouvé marche bien (partie "synthèse").

PDM!/-+

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Re : Espace vectoriel

Effectivement je me suis trompé

yoshi

Modo Ferox

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Re : Espace vectoriel

Bonsoir,

@ PDM!/-+
J'ai déplacé la discussion dans le bon forum avant que tu ne postes : ce n'était pas si grave à partir du moment où Michel Coste l'avait signalé.
La routine, quoi...
Cela dit, cela dénote un manque de concentration.

Maintenant, je reprends la question de Michel Coste et je l'actualise : que t'a inspiré sa réponse (en dehors de t'apercevoir que tu n'avais pas posté au bon endroit  ^_^) ?
As-tu avancé ? Veux-tu bien nous en faire part, ça te permettrait de faire avancer la machine...

      Yoshi
- Modérateur -

PDM!/-+

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Re : Espace vectoriel

J’ai suivi l’indication de Michel Coste (f+g) et j’ai montrer
grâce au théorème de caractérisation des sous espaces vectoriels que F et G sont des sous espaces de E désolé j’ai un peu de mal à écrire en forme mathématiques car je ne sais pas comment faire

yoshi

Modo Ferox

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Re : Espace vectoriel

Bonjour,

Merci.
C'est au Code Latex auquel tu fais allusion ?
Si oui, suis le lien et tu verras que ce n'est pas si compliqué : il demande 1/4 h à 20 min de familiarisation avec son principe après quoi, le secret de la maitrise réside dans la pratique, la pratique et encore la pratique. Cette page d'initiation comporte elle-même un lien vers une compilation - dont je ne suis pas l'auteur - qui offre d'autres possibilités...
En ce qui concerne le fond, je ne suis pas (plus ?) hélas compétent...
Mais Michel ne te laissera pas tomber...

@+

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Espace vectoriel

Tu as montré que $F$ est un sous-espace vectoriel. Pour $G$, pas besoin de démonstration puisqu'il l'est pas définition.
Quand tu écris $u=f+g$ avec $f\in F$ et $g\in G$, il faut ensuite exploiter les définitions de $F$ et $G$ pour faire dire tout ce qu'on peut à cette écriture :
- quelle est la forme de $g$ ?
- quelle propriété a $f$ ?

bridgslam

Membre Expert

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Re : Espace vectoriel

Bonjour,

▼un coup de pouce

Si  u dans E se décompose en f + g , avec f dans F et g dans G, vous pouvez montrer que nécessairement les coordonnées de g dans
la base ( sin, cos) s'expriment comme une certaine combinaison linéaire ( à déterminer ) de u(0), u(pi/2), u(pi).
Vous en déduirez l'expression obligatoire de f par différence.
Il faut ensuite vérifier que f est dans F.

Soit vous montrez ensuite que l'intersection de F et G est {0}, soit vous remarquez simplement que dans la preuve d'existence vous n'avez pas eu d'autre choix, donc que la décomposition trouvée est la seule (unicité).

Ce n'est pas sorcier en procédant méthodiquement.

Bon a-m
A.