Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bayron

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Dérivée d’une fonction d’utilité

Bonsoir,

C’est la première fois que j’utilise le site, alors veillez s’il vous plaît m’excuser si j’explique très mal. Mon problème vient plus d’un sujet de statistique que de mathématiques mais vu que cela concerne les dérivées, j’ai pensé que les maths pouvait m’aider.donc voilà ma fonction :Ua (x₁ª,x₂ª ) =x₁ª  x₂ª

Mon problème se trouve au niveau de la manière dont je dois considérer la valeur <<a>>
1) soit je considère<<a>>comme une constante et j’obtiens les dérivées partielles telles que la première dérivée partielle est    ax₁ª⁻¹x₂ª    et la deuxième dérivée partielle a x₁ªx₂ª⁻¹
2) soit je ne considère pas <<a >>comme une constante et obtiens x₁ª  et  x₂ª  comment étant respectivement les dérivées première et deuxième.

J’ai peur d’avoir expliqué mal mon problème donc je doute vraiment que vous compreniez , mais pour faire simple <<a>> est dérivable ou pas ?.

Merci

Eust_4che

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Messages : 184

Re : Dérivée d’une fonction d’utilité

Bonjour,

En fait, tu peux voir ton expression

$$u_a(x_1, x_2) = x_1^a x_2^a$$

qui est définie pour $x_1, x_2 > 0$, comme une fonction des trois variables $x_1, x_2$ et $a$, où $a$ est un réel quelconque. Autrement dit, tu peux définir une fonction
$$u \colon (x_1, x_2, a) \longmapsto x_1^a x_2^a = \exp(a \ln(x_1)) \exp(a \ln(x_2))$$
de $\mathbf{R}_+^* \times \mathbf{R}_+^* \times \mathbf{R}$ à valeurs dans $\mathbf{R}$. Le fait de savoir si $a$ est une constante ou pas dépend essentiellement de ton objectif.

Ceci dit, je ne comprend pas vraiment le point 2). Si tu dérives $u$ par rapport à $a$, tu obtiens

$$ \frac{\partial u}{\partial a } = (\ln(x_1) + \ln(x_2)) \exp(a \ln(x_1)) \exp(a \ln(x_2)) $$

E.

Dernière modification par Eust_4che (17-12-2023 21:59:04)