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#3 19-11-2023 17:21:26
- matson
- Membre
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Re : espace vectoriel
Bonjour !
Je ne dois sans doute pas bien comprendre qui doit rester dans R ou Z
Faut il bien considérer que l'addition interne reste dans R et que la multiplication externe se fait avec un scalaire dans Z dont le produit doit rester dans R?
Merci pour ton aide !
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#4 19-11-2023 17:52:45
- Glozi
- Invité
Re : espace vectoriel
Bonsoir,
Ce que veut te dire Roro, c'est qu'un espace vectoriel est construit sur un corps $K$, or $\mathbb{Z}$ est un anneau mais pas un corps...
Bonne soirée
#8 20-11-2023 10:40:09
- bridgslam
- Membre Expert
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- Messages : 1 903
Re : espace vectoriel
Bonjour,
Bonsoir
Je crois avoir compris : comme Z n'est pas un corps, l'on ne peut satisfaire la propriété de trouver un élément unité pour la multiplication.
Non, $\mathbb{Z}$ possède un 1, comme tout anneau (sinon on parle de pseudo-anneau, dans l'algèbre actuel ).
Les nuances interviennent sur les inversibles...
A.
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#9 20-11-2023 18:53:47
- matson
- Membre
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- Messages : 9
Re : espace vectoriel
Bonsoir
Ok autant pour moi. Donc un espace vectoriel suppose des scalaires faisant partie d'un corps commutatif (donc C, R, Q et non Z) incluant notamment notamment les nombres inversibles.
Merci beaucoup pour ton aide.
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#11 21-11-2023 14:26:51
- DeGeer
- Membre
- Inscription : 28-09-2023
- Messages : 222
Re : espace vectoriel
Par contre, dans la définition d'un corps, on impose en général la commutativité. Ainsi, un espace vectoriel ne peut être défini que sur un corps commutatif. Un "corps non commutatif" est appelé ou bien "corps gauche", ou bien "anneau à division". Par exemple le corps gauche des quaternions de Hamilton, noté H.
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#12 21-11-2023 16:11:43
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 903
Re : espace vectoriel
Bonjour,
Et dans les cours que j'ai, même pour les A-modules l'anneau A est exigé commutatif (en le précisant).
On aurait de toute façon des soucis sinon, par exemple les homothéties ne seraient pas automatiquement linéaires...
Apparemment la commutativité n'est pas supposée obligatoire dans toute la littérature sur le sujet...
Cela dépend sans doute des propriétés souhaitées par la suite...
Par-contre la commutativité du groupe sous-jacent est induite par les autres axiomes, même si on la mentionne dans les axiomes.
A.
Dernière modification par bridgslam (21-11-2023 17:45:10)
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