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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- DeGeer
- 21-11-2023 19:44:20
Bonsoir,
Si l'anneau n'est pas commutatif, il faut distinguer les modules à gauche et les modules à droite.
- bridgslam
- 21-11-2023 16:11:43
Bonjour,
Et dans les cours que j'ai, même pour les A-modules l'anneau A est exigé commutatif (en le précisant).
On aurait de toute façon des soucis sinon, par exemple les homothéties ne seraient pas automatiquement linéaires...
Apparemment la commutativité n'est pas supposée obligatoire dans toute la littérature sur le sujet...
Cela dépend sans doute des propriétés souhaitées par la suite...
Par-contre la commutativité du groupe sous-jacent est induite par les autres axiomes, même si on la mentionne dans les axiomes.
A.
- DeGeer
- 21-11-2023 14:26:51
Par contre, dans la définition d'un corps, on impose en général la commutativité. Ainsi, un espace vectoriel ne peut être défini que sur un corps commutatif. Un "corps non commutatif" est appelé ou bien "corps gauche", ou bien "anneau à division". Par exemple le corps gauche des quaternions de Hamilton, noté H.
- bridgslam
- 20-11-2023 19:49:06
Bonsoir,
C'est cela, ou même des corps quelconques, finis (Z/pZ p premier par exemple ) ou infinis ....
Alain
- matson
- 20-11-2023 18:53:47
Bonsoir
Ok autant pour moi. Donc un espace vectoriel suppose des scalaires faisant partie d'un corps commutatif (donc C, R, Q et non Z) incluant notamment notamment les nombres inversibles.
Merci beaucoup pour ton aide.
- bridgslam
- 20-11-2023 10:40:09
Bonjour,
Bonsoir
Je crois avoir compris : comme Z n'est pas un corps, l'on ne peut satisfaire la propriété de trouver un élément unité pour la multiplication.
Non, $\mathbb{Z}$ possède un 1, comme tout anneau (sinon on parle de pseudo-anneau, dans l'algèbre actuel ).
Les nuances interviennent sur les inversibles...
A.
- matson
- 19-11-2023 19:30:11
Bonsoir
Merci pour cette information !
- Roro
- 19-11-2023 18:58:50
- matson
- 19-11-2023 18:39:27
Bonsoir
Je crois avoir compris : comme Z n'est pas un corps, l'on ne peut satisfaire la propriété de trouver un élément unité pour la multiplication.
Merci beaucoup Roro et Glozi !
- Glozi
- 19-11-2023 17:52:45
Bonsoir,
Ce que veut te dire Roro, c'est qu'un espace vectoriel est construit sur un corps $K$, or $\mathbb{Z}$ est un anneau mais pas un corps...
Bonne soirée
- matson
- 19-11-2023 17:21:26
Bonjour !
Je ne dois sans doute pas bien comprendre qui doit rester dans R ou Z
Faut il bien considérer que l'addition interne reste dans R et que la multiplication externe se fait avec un scalaire dans Z dont le produit doit rester dans R?
Merci pour ton aide !
- Roro
- 19-11-2023 16:46:59
Bonjour (ce n'est pas optionnel sur ce forum),
Reprend la définition d'un K-espace vectoriel... il y a des hypothèses sur K qui ne sont pas satisfaites pour Z...
Roro.
- matson
- 19-11-2023 16:38:40
Pourquoi R n'est pas un espace vectoriel sur Z ? (la multiplication d'un réel par un scalaire appartenant à Z est pourtant un réel)