Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Jippy13011

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Réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent

Bonjour amis des math,

J'ai 2 questions à vous poser:

Première question:
Soit E est un K espace vectoriel de dimension n.
Quelle est la définition d'une matrice nilpotente de Jordan ?
Doit elle s'écrire sous cette forme

$\begin{bmatrix}
0 & .. &   & 0 \\
1 &  0&  &  \\
& 1 & 0 &  \\
0& .. & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}$

ou bien celle de sa transposée ?
Les 2 matrices sont elles semblables ?

Deuxième question:

Je voudrais savoir si la démo suivante est valide.
Soit u un endomorphisme nilpotent de rang r dans un K espace vectoriel de dimension n.
Je veux démontrer qu'il existe une base B dans laquelle

Mat(u,B) a la forme présenté ci-dessus (avec dim Keru=1).

Mon idée est de construire les sous espaces vectoriels $E_{k}$ tels que :

$
E_{1}\bigoplus  E_{2} \bigoplus ...\bigoplus E_{p}=E \\
$
où $E_{k}$ est de la forme $Vect (x_{k},u^{1}( x_{k}), ..., u^{m_{k}}( x_{k}) )$
avec $m_{k}<r$

Je prends un x1 de E et je considère les vecteurs $x,u(x),  ..,u^{k}( x)$
Ils sont libres car si
$
a_{0}x + a_{1}u^{1}( x) + ...+ a_{k}u^{k}( x) = 0
$
en appliquant les puissances successives de u on montre que tous les coefficients sont nuls.

Soit $E_{1} = Vect (x_{1},u^{1}( x_{1}), ..., u^{m_{1}}( x_{1}) )$

On va choisir un $x_{2}$ non inclut dans $E_{1}$ et construire $E_{2}$ ou chaque vecteur n'appartient pas à $E_{1}$ et ainsi de suite jusqu'à ce que la somme directe des  $E_{k}$  donne E.

Dans les bases de $E_{k}$ la matrice représentative de u est de la forme .
$\begin{bmatrix}
0 & .. &   & 0 \\
1 &  0&  &  \\
& 1 & 0 &  \\
0& .. & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}$

Merci pour votre attention

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent

Bonsoir,
L'habitude est d'écrire les blocs de Jordan avec les 1 au-dessus de la diagonale et pas en-dessous.
Par ailleurs, je te laisse vérifier qu'eun simple chanagement de l'ordre des vecteurs de base permet de passer du dessous au dessus.

Jippy13011

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Re : Réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent

Merci Michel pour ta réponse rapide.

Effectivement le résultat final est une matrice de Jordan par bloc. Mais sur les espaces  $E_{k}$  on a bien une matrice Jordan de taille $m_{k}$ élémentaire composée de 1 et de 0.

Pour la question de la transposée... j'avais pas vu qu'en inversant l'ordre des bases (on passe de $e_{1} ,e_{2},.., e_{n}$ à $e_{n} ,e_{n-1},.., e_{1}$ ) on obtient la transposée.

Mais sur le fond de la démonstration, en ce qui concerne la construction des espaces $E_{k}$, ai je bon ?

Je ne vois pas de faille dans le raisonnement et je pense que cette démo trouvée nulle part, est assez simple à expliquer.

Merci pour l'attention du lecteur

Dernière modification par Jippy13011 (16-11-2023 10:58:00)

Michel Coste

Membre Expert

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Messages : 1 464

Re : Réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent

On t'a déjà répondu ailleurs. Je n'apprécie pas trop de voir la même question posée sur plusieurs forums.

Jippy13011

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Re : Réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent

Désolé Michel, je n'avais pas l'intention de t'offenser.

Je voulais juste avoir une réponse rapide pour savoir si mon raisonnement était juste...il ne l'est pas.

Tripolis

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Re : Réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent

Au fait, toute matrice est semblable à sa transposée .. ;)