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#1 24-10-2023 16:03:25
- Bivalve
- Membre
- Inscription : 12-01-2023
- Messages : 66
Critère de diagonalisation
Bonjour, je rencontre quelques doutes concernant la solution proposée dans cette vidéo pour le dernier exercice, la (d) :
https://www.youtube.com/watch?v=7QZzIyXG-Ws
En effet, pour montrer que [tex] M \in M_n(\mathbb{C}) [/tex] diagonalisable implique que pour toute valeur propre λ de M, [tex] Ker( M - λI_n ) = Ker( M - λI_n)^2 [/tex],
on procède par double inclusion.
L'inclusion [tex] Ker( M - λI_n ) \subset Ker( M - λI_n)^2 [/tex] est triviale.
On souhaite donc montrer que [tex] Ker( M - λI_n)^2 \subset Ker( M - λI_n)[/tex].
Comme M diagonalisable, alors [tex] \mathbb{C}^n = \oplus_λ Ker( M - λI_n ) [/tex]
Nous savons donc que [tex] Ker( M - λI_n)^2 \subset \oplus_λ Ker( M - λI_n ) [/tex]
Dans la correction, on prouve par la suite que pour toute valeur propre [tex] λ' \ne λ[/tex], nous avons [tex] Ker( M - λI_n)^2 \cap Ker( M - λ'I_n) [/tex] = {0}
La correction conclut alors que comme [tex] Ker( M - λI_n)^2 \subset \oplus_λ Ker( M - λI_n ) [/tex] et [tex] Ker( M - λI_n)^2 \cap Ker( M - λ'I_n) [/tex] = {0} pour toute valeur propre [tex] λ' \ne λ[/tex], cela implique que [tex] Ker( M - λI_n)^2 \subset Ker( M - λI_n)[/tex].
C'est sur cette dernière étape que j'ai du mal à comprendre, même si cela semble juste, j'éprouve cependant des doutes.
Je vous remercie d'avance de vos réponses !
Dernière modification par Bivalve (24-10-2023 16:05:08)
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#2 24-10-2023 21:40:04
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 349
Re : Critère de diagonalisation
Bonjour
Je n'ai pas regardé la vidéo mais si c'est écrit ainsi c'est faux.
Un argument correct pourrait être basé sur la dimension. En utilisant que le noyau de $(M-\lambda I)^2$ est en somme directe avec les autres noyaux et que M est diagonalisable on peut démontrer que la dimension du noyau et du noyau itéré coïncident.
F.
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#4 25-10-2023 11:06:47
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Critère de diagonalisation
Bonjour,
On peut aussi y aller de façon très terre à terre.
Puisque $M$ est diagonalisable, tout vecteur $x$ se décompose de manière unique en $x=x_1+x_2+\cdots+x_r$ où $x_1\in \ker(M-\lambda I_n)$ et $x_2,\ldots,x_r$ appartiennent aux sous-espaces propres associés aux autres valeurs propres $\mu_2,\ldots,\mu_r$. On calcule $(M-\lambda I_n)^2 x$ et ... je te laisse voir.
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#5 26-10-2023 15:57:40
- Bivalve
- Membre
- Inscription : 12-01-2023
- Messages : 66
Re : Critère de diagonalisation
Merci pour votre aide Michel.
Si j'ai bien compris,
On sait que [tex] \forall x \in Ker( M - \lambda I_n)^2 [/tex], [tex] x [/tex] se décompose de manière suivante :
[tex] x = x_1 + x_2 + ... + x_r [/tex] avec [tex] x_1 [/tex] un vecteur de [tex] Ker( M - \lambda I_n) [/tex] et [tex] x_2, ..., x_r [/tex] appartiennent aux sous-espaces propres associés aux autres valeurs propres [tex] \mu_2, ..., \mu_r [/tex] (puisque M est diagonalisable)
On sait alors qu'on a [tex] ( M - \lambda I_n)^2 x = 0 [/tex] et [tex] ( M - \lambda I_n)^2 x = ( M - \lambda I_n)^2 ( x_1 + x_2 + ... + x_r ) = ( M - \lambda I_n)^2 x_1+ ( M - \lambda I_n)^2 x_2 + ... + ( M - \lambda I_n)^2 x_r [/tex]
On sait que [tex] ( M - \lambda I_n)^2 x_1 = 0 [/tex] car [tex] x_1 \in Ker( M - \lambda I_n) [/tex].
Et [tex] \forall i \in [[ 2 ; ... ; r ]] [/tex],
[tex] ( M - \lambda I_n) x_i = ( Mx_i - \lambda x_i ) = ( \mu_i x_i - \lambda x_i ) = ( \mu_i - \lambda )x_i [/tex]
Donc [tex] ( M - \lambda I_n)^2 x_i = ( \mu_i - \lambda )^2 x_i [/tex]
On déduit alors que [tex] ( M - \lambda I_n)^2 x = ( \mu_2 - \lambda )^2 x_2 + ... + ( \mu_r - \lambda )^2 x_r [/tex]
[tex] \Leftrightarrow 0 = ( \mu_2 - \lambda )^2 x_2 + ... + ( \mu_r - \lambda )^2 x_r [/tex]
Comme les sous-espaces propres sont en somme directe et que [tex] ( \mu_i - \lambda )^2 \neq 0 [/tex] ( car valeurs propres distinctes ),
on déduit alors que forcément [tex] x_2 = ... = x_r = 0 [/tex].
On sait donc que [tex] x = x_1 \in Ker( M - \lambda I_n) [/tex], ce qui prouve l'inclusion [tex] Ker( M - \lambda I_n)^2 \subset Ker( M - \lambda I_n) [/tex].
Est-ce bien juste ?
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#6 26-10-2023 16:50:14
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Critère de diagonalisation
Oui.
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