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Bivalve · 26-10-2023 18:28:21

Merci pour votre retour

Michel Coste · 26-10-2023 16:50:14

Oui.

Bivalve · 26-10-2023 15:57:40

Merci pour votre aide Michel.

Si j'ai bien compris,
On sait que [tex] \forall x \in Ker( M - \lambda I_n)^2 [/tex], [tex] x [/tex] se décompose de manière suivante :
[tex] x = x_1 + x_2 + ... + x_r [/tex] avec [tex] x_1 [/tex] un vecteur de [tex] Ker( M - \lambda I_n) [/tex] et [tex] x_2, ..., x_r [/tex] appartiennent aux sous-espaces propres associés aux autres valeurs propres [tex] \mu_2, ..., \mu_r [/tex] (puisque M est diagonalisable)

On sait alors qu'on a [tex] ( M - \lambda I_n)^2 x = 0 [/tex] et [tex] ( M - \lambda I_n)^2 x = ( M - \lambda I_n)^2 ( x_1 + x_2 + ... + x_r ) = ( M - \lambda I_n)^2 x_1+ ( M - \lambda I_n)^2 x_2 + ... + ( M - \lambda I_n)^2 x_r [/tex]

On sait que [tex] ( M - \lambda I_n)^2 x_1 = 0 [/tex] car [tex] x_1 \in Ker( M - \lambda I_n) [/tex].

Et [tex] \forall i \in [[ 2 ; ... ; r ]] [/tex],
[tex] ( M - \lambda I_n) x_i = ( Mx_i - \lambda x_i ) = ( \mu_i x_i - \lambda x_i ) = ( \mu_i - \lambda )x_i [/tex]
Donc [tex] ( M - \lambda I_n)^2 x_i = ( \mu_i - \lambda )^2 x_i [/tex]

On déduit alors que [tex] ( M - \lambda I_n)^2 x = ( \mu_2 - \lambda )^2 x_2 + ... + ( \mu_r - \lambda )^2 x_r [/tex]
[tex] \Leftrightarrow 0 = ( \mu_2 - \lambda )^2 x_2 + ... + ( \mu_r - \lambda )^2 x_r [/tex]

Comme les sous-espaces propres sont en somme directe et que [tex] ( \mu_i - \lambda )^2 \neq 0 [/tex] ( car valeurs propres distinctes ),
on déduit alors que forcément [tex] x_2 = ... = x_r = 0 [/tex].

On sait donc que [tex] x = x_1 \in Ker( M - \lambda I_n) [/tex], ce qui prouve l'inclusion [tex] Ker( M - \lambda I_n)^2 \subset Ker( M - \lambda I_n) [/tex].

Est-ce bien juste ?

Michel Coste · 25-10-2023 11:06:47

Bonjour,
On peut aussi y aller de façon très terre à terre.
Puisque $M$ est diagonalisable, tout vecteur $x$ se décompose de manière unique en $x=x_1+x_2+\cdots+x_r$ où $x_1\in \ker(M-\lambda I_n)$ et $x_2,\ldots,x_r$ appartiennent aux sous-espaces propres associés aux autres valeurs propres $\mu_2,\ldots,\mu_r$. On calcule $(M-\lambda I_n)^2 x$ et ... je te laisse voir.

Bivalve · 25-10-2023 07:45:27

Merci pour votre réponse. Je vais essayer d'avancer le mieux que je peux de mon côté, je reviens vers vous si jamais je coince ou autre

Fred · 24-10-2023 21:40:04

Bonjour

Je n'ai pas regardé la vidéo mais si c'est écrit ainsi c'est faux.
Un argument correct pourrait être basé sur la dimension. En utilisant que le noyau de $(M-\lambda I)^2$ est en somme directe avec les autres noyaux et que M est diagonalisable on peut démontrer que la dimension du noyau et du noyau itéré coïncident.

F.

Bivalve · 24-10-2023 16:03:25

Bonjour, je rencontre quelques doutes concernant la solution proposée dans cette vidéo pour le dernier exercice, la (d) :
https://www.youtube.com/watch?v=7QZzIyXG-Ws

En effet, pour montrer que [tex] M \in M_n(\mathbb{C}) [/tex] diagonalisable implique que pour toute valeur propre λ de M, [tex] Ker( M - λI_n ) = Ker( M - λI_n)^2 [/tex],
on procède par double inclusion.

L'inclusion [tex] Ker( M - λI_n ) \subset Ker( M - λI_n)^2 [/tex] est triviale.

On souhaite donc montrer que [tex] Ker( M - λI_n)^2 \subset Ker( M - λI_n)[/tex].

Comme M diagonalisable, alors [tex] \mathbb{C}^n = \oplus_λ Ker( M - λI_n ) [/tex]

Nous savons donc que [tex] Ker( M - λI_n)^2 \subset \oplus_λ Ker( M - λI_n ) [/tex]

Dans la correction, on prouve par la suite que pour toute valeur propre [tex] λ' \ne λ[/tex], nous avons [tex] Ker( M - λI_n)^2 \cap Ker( M - λ'I_n) [/tex] = {0}

La correction conclut alors que comme [tex] Ker( M - λI_n)^2 \subset \oplus_λ Ker( M - λI_n ) [/tex] et [tex] Ker( M - λI_n)^2 \cap Ker( M - λ'I_n) [/tex] = {0} pour toute valeur propre [tex] λ' \ne λ[/tex], cela implique que [tex] Ker( M - λI_n)^2 \subset Ker( M - λI_n)[/tex].

C'est sur cette dernière étape que j'ai du mal à comprendre, même si cela semble juste, j'éprouve cependant des doutes.

Je vous remercie d'avance de vos réponses !

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