Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 10-10-2023 21:26:26
- bibmgb
- Membre
- Inscription : 16-04-2017
- Messages : 102
Justifier un équivalent
Bonjour,
Je me pose des questions quant à la manière de justifier un calcul de limite faisant intervenir des équivalents.
Par exemple, supposons que l'on cherche la limite de [tex]\dfrac{\ln(n+2)}{\ln(n+3)}[/tex] quand [tex]n[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex].
Pour éviter d'écrire quelque chose de trés lourd comme [tex]\dfrac{1+\frac{\ln(1+\frac{2}{n})}{\ln n}}{1+\frac{\ln(1+\frac{3}{n})}{\ln n}}[/tex] pour justifier que la limite est 1, j'aimerais à la place utiliser la notion de suites équivalentes.
On a [tex]n+2\underset{+\infty}{\sim} n+3[/tex], mais je ne sais pas si je peux écrire que [tex]\ln(n+2)\underset{+\infty}{\sim} \ln(n+3)[/tex], je pense que ça dépend de la fonction et surtout dans le cas du logarithme je ne sais pas démontrer que ça l'est. Donc je ne sais pas comment conclure sur la limite.
Pouvez-vous m'éclairer s'il vous plaît ?
Merci.
Dernière modification par bibmgb (11-10-2023 10:07:04)
Hors ligne
#2 10-10-2023 22:11:20
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 348
Re : Justifier un équivalent
Bonsoir,
Dans le cas du logarithme, c'est vrai que $\ln(n+2)\sim_{+\infty}\ln(n+3)$ mais tu as bien compris que ceci dépend de la fonction (par exemple, on n'a pas $\exp(n+2)\sim_{+\infty}\exp(n+3).$ Et en fait, tu sais démontrer que c'est vrai puisque pour le faire, on étudie la limite du quotient, et c'est ce que tu as fait juste aussi...
Le plus simple, en général, pour obtenir un équivalent, est d'utiliser les développements limités. Mais ici, tu ne te passeras pas de factoriser par $n$ dans le logarithme.
F.
Hors ligne
#3 11-10-2023 08:27:55
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 220
Re : Justifier un équivalent
Bonjour,
On a [tex]n+2\underset{+\infty}{\sim} n+3[/tex], mais je ne sais pas si je peux écrire que [tex]\ln(n+2)\underset{+\infty}{\sim} \ln(n+3)[/tex]
Je cède à la facilité mais l'exercice 1 répond à cette question :
https://www.bibmath.net/ressources/inde … &type=fexo
Sinon partir de : [tex]\ln(n+2)-\ln(n+3)=\ln(1-\dfrac {1}{n+3})[/tex]
Dernière modification par Zebulor (11-10-2023 08:34:13)
Hors ligne
#4 11-10-2023 11:37:28
- bibmgb
- Membre
- Inscription : 16-04-2017
- Messages : 102
Re : Justifier un équivalent
Merci, j'ai fait l'exercice 1, qui effectivement étudie le quotient pour voir s'il tend vers 1 ou non.
[tex]\ln(n+2)-\ln(n+3)=\ln\left(\dfrac{n+2}{n+3}\right)=\ln(\left(\dfrac{n+3-1}{n+3}\right)=\ln(1-\dfrac{1}{n+3})[/tex]
Ainsi [tex]\dfrac{\ln(n+2)}{\ln(n+3)}=1+\dfrac{\ln\left(1-\dfrac{1}{n+3}\right)}{\ln(n+3)}[/tex] qui tend vers 1 quand [tex]n[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex].
Finalement si je veux justifier que la limite est 1, il faut que je justifie que le numérateur est équivalent au dénominateur; autrement dit je ne peux pas affirmer qu'ils sont équivalents; sinon j'affirme ce que je veux justifier...
Hors ligne
#7 11-10-2023 16:11:24
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 220
Re : Justifier un équivalent
re,
Finalement si je veux justifier que la limite est 1, il faut que je justifie que le numérateur est équivalent au dénominateur; autrement dit je ne peux pas affirmer qu'ils sont équivalents; sinon j'affirme ce que je veux justifier...
Je ne suis pas sur de bien te comprendre. Quoi qu'il en soit au post 4, tu as simplement écrit le quotient sous une autre forme, qui devient exploitable car de la forme $1+\epsilon(n)$
Sinon j'ai trouvé ceci :
https://ptsi-deodat.heb3.org/documents/ … andout.pdf
En creusant un peu :
avec $\epsilon=0.01$ on a [tex]\left| \dfrac{\ln\left(1-\dfrac{1}{n+3}\right)}{\ln(n+3)}\right|\lt \epsilon [/tex] dès que n>26
Et pour $\epsilon=0.005$ , on trouve n>48
Au passage, j'étale un petit peu ma science : pour $n$ assez grand : $ln(n)\sim ln(n+1)-\dfrac {1}{n}$, le $\dfrac {1}{n}$ étant le taux de croissance de la fonction logarithme népérien...
Dernière modification par Zebulor (15-10-2023 11:00:01)
Hors ligne
Pages : 1