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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Zebulor
- 11-10-2023 16:11:24
re,
Finalement si je veux justifier que la limite est 1, il faut que je justifie que le numérateur est équivalent au dénominateur; autrement dit je ne peux pas affirmer qu'ils sont équivalents; sinon j'affirme ce que je veux justifier...
Je ne suis pas sur de bien te comprendre. Quoi qu'il en soit au post 4, tu as simplement écrit le quotient sous une autre forme, qui devient exploitable car de la forme $1+\epsilon(n)$
Sinon j'ai trouvé ceci :
https://ptsi-deodat.heb3.org/documents/ … andout.pdf
En creusant un peu :
avec $\epsilon=0.01$ on a [tex]\left| \dfrac{\ln\left(1-\dfrac{1}{n+3}\right)}{\ln(n+3)}\right|\lt \epsilon [/tex] dès que n>26
Et pour $\epsilon=0.005$ , on trouve n>48
Au passage, j'étale un petit peu ma science : pour $n$ assez grand : $ln(n)\sim ln(n+1)-\dfrac {1}{n}$, le $\dfrac {1}{n}$ étant le taux de croissance de la fonction logarithme népérien...
- bibmgb
- 11-10-2023 14:12:59
Oui, le numérateur tend vers 0 par continuité de la fonction ln en 1 et le dénominateur tend vers [tex]+\infty[/tex] donc le quotient tend vers 0.
- Zebulor
- 11-10-2023 13:51:06
re,
la limite ou l'équivalent de ce quotient [tex]\dfrac{\ln\left(1-\dfrac{1}{n+3}\right)}{\ln(n+3)}[/tex] quand $n$ tend vers l'infini est facile à trouver...
- bibmgb
- 11-10-2023 11:37:28
Merci, j'ai fait l'exercice 1, qui effectivement étudie le quotient pour voir s'il tend vers 1 ou non.
[tex]\ln(n+2)-\ln(n+3)=\ln\left(\dfrac{n+2}{n+3}\right)=\ln(\left(\dfrac{n+3-1}{n+3}\right)=\ln(1-\dfrac{1}{n+3})[/tex]
Ainsi [tex]\dfrac{\ln(n+2)}{\ln(n+3)}=1+\dfrac{\ln\left(1-\dfrac{1}{n+3}\right)}{\ln(n+3)}[/tex] qui tend vers 1 quand [tex]n[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex].
Finalement si je veux justifier que la limite est 1, il faut que je justifie que le numérateur est équivalent au dénominateur; autrement dit je ne peux pas affirmer qu'ils sont équivalents; sinon j'affirme ce que je veux justifier...
- Zebulor
- 11-10-2023 08:27:55
Bonjour,
On a [tex]n+2\underset{+\infty}{\sim} n+3[/tex], mais je ne sais pas si je peux écrire que [tex]\ln(n+2)\underset{+\infty}{\sim} \ln(n+3)[/tex]
Je cède à la facilité mais l'exercice 1 répond à cette question :
https://www.bibmath.net/ressources/inde … &type=fexo
Sinon partir de : [tex]\ln(n+2)-\ln(n+3)=\ln(1-\dfrac {1}{n+3})[/tex]
- Fred
- 10-10-2023 22:11:20
Bonsoir,
Dans le cas du logarithme, c'est vrai que $\ln(n+2)\sim_{+\infty}\ln(n+3)$ mais tu as bien compris que ceci dépend de la fonction (par exemple, on n'a pas $\exp(n+2)\sim_{+\infty}\exp(n+3).$ Et en fait, tu sais démontrer que c'est vrai puisque pour le faire, on étudie la limite du quotient, et c'est ce que tu as fait juste aussi...
Le plus simple, en général, pour obtenir un équivalent, est d'utiliser les développements limités. Mais ici, tu ne te passeras pas de factoriser par $n$ dans le logarithme.
F.
- bibmgb
- 10-10-2023 21:26:26
Bonjour,
Je me pose des questions quant à la manière de justifier un calcul de limite faisant intervenir des équivalents.
Par exemple, supposons que l'on cherche la limite de [tex]\dfrac{\ln(n+2)}{\ln(n+3)}[/tex] quand [tex]n[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex].
Pour éviter d'écrire quelque chose de trés lourd comme [tex]\dfrac{1+\frac{\ln(1+\frac{2}{n})}{\ln n}}{1+\frac{\ln(1+\frac{3}{n})}{\ln n}}[/tex] pour justifier que la limite est 1, j'aimerais à la place utiliser la notion de suites équivalentes.
On a [tex]n+2\underset{+\infty}{\sim} n+3[/tex], mais je ne sais pas si je peux écrire que [tex]\ln(n+2)\underset{+\infty}{\sim} \ln(n+3)[/tex], je pense que ça dépend de la fonction et surtout dans le cas du logarithme je ne sais pas démontrer que ça l'est. Donc je ne sais pas comment conclure sur la limite.
Pouvez-vous m'éclairer s'il vous plaît ?
Merci.