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bibmgb

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Egalité de fractions rationnelles

Bonjour,

Je cherche à prouver que pour x dans l'intervalle [0,1] : [tex]\dfrac{x^5+x^4+2x^3-4}{x^8-16}=\dfrac{x-1}{x^4-2x^3+4x-4}[/tex]

J'ai en premier pensé à utiliser le produit en croix; donc à me ramener à un produit de deux polynômes, sauf que multiplier le polynôme de degré 5 avec celui de degré 4 me paraît un calcul bien fastidieux.

J'ai par la suite pensé à factoriser le polynôme de degré 5 par [tex]x-1[/tex]. J'ai donc posé une division de polynômes et je suis arrivée à [tex]x^5+x^4+2x^3-4=(x-1)(x^4+2x^3+4x^2+4x+4)[/tex]. Mais je suis bloquée pour avancer.

J'ai par ailleurs vu que [tex]x^8-16=(x^2-2)(x^2+2)(x^4+4)[/tex] mais ça ne me mène nulle part.

Je me demande donc comment attaquer ce problème de sorte que je n'entre pas dans des calculs interminables.

Voyez-vous une manière de procéder ?

Merci.

Cidrolin

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Re : Egalité de fractions rationnelles

Bonjour,
Diviser le dénominateur de gauche par celui de droite
et retrouver $x^4+2x^3+4x^2+4x+4$
Amicalement

Bernard-maths

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Re : Egalité de fractions rationnelles

Bonjour !

Pourtant, si tu poses la multiplication des 2 "gros" ...

https://zupimages.net/up/23/39/s4p3.jpg

Facile de vérifier pour les 2 autres !

B-m

Hum ! Je vois que Cidrolin m'a doublé à droite ...

            (EDIT]by yoshi : avec ou sans clignotant ?)

Dernière modification par yoshi (29-09-2023 18:19:09)

Black Jack

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Re : Egalité de fractions rationnelles

Bonjour,

Peu importe la technique utilisée.
Même le produit en croix est simplissime ... environ une minute.

Mais, quelle que soit la méthode utilisée, il faut penser à montrer que (x^8-16) et (x^4 - 2x³ + 4x - 4) ne s'annulent pas sur [0 ; 1]

bibmgb

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Re : Egalité de fractions rationnelles

En divisant [tex]x^8-16[/tex] par [tex]x^4-2x^3+4x-4[/tex] on obtient [tex]x^4+2x^3+4x^2+4x+4[/tex].
On peut donc simplifier la première fraction par [tex]x^4+2x^3+4x^2+4x+4[/tex] pour trouver la deuxième.
Pour le produit des polynômes de degrés 5 et 4; on doit calculer 16 termes; je ne dis pas que c'est difficile, je dis que c'est fastidieux.
Le polynôme [tex]x^8-16[/tex] n'a que deux racines [tex]\pm\sqrt{2}[/tex] donc ne s'annule pas sur [0,1].
Pour montrer que le polynôme [tex]x^4-2x^3+4x-4[/tex] ne s'annule pas sur [0,1], je dirais que c'est un diviseur de [tex]x^8-16[/tex] donc les racines de [tex]x^4-2x^3+4x-4[/tex] sont des racines de [tex]x^8-16[/tex]. Comme [tex]x^8-16[/tex]  ne s'annule pas sur [0,1] alors [tex]x^4-2x^3+4x-4[/tex] non plus.

Black Jack

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Re : Egalité de fractions rationnelles

En divisant [tex]x^8-16[/tex] par [tex]x^4-2x^3+4x-4[/tex] on obtient [tex]x^4+2x^3+4x^2+4x+4[/tex].
On peut donc simplifier la première fraction par [tex]x^4+2x^3+4x^2+4x+4[/tex] pour trouver la deuxième.
Pour le produit des polynômes de degrés 5 et 4; on doit calculer 16 termes; je ne dis pas que c'est difficile, je dis que c'est fastidieux.
Le polynôme [tex]x^8-16[/tex] n'a que deux racines [tex]\pm\sqrt{2}[/tex] donc ne s'annule pas sur [0,1].
Pour montrer que le polynôme [tex]x^4-2x^3+4x-4[/tex] ne s'annule pas sur [0,1], je dirais que c'est un diviseur de [tex]x^8-16[/tex] donc les racines de [tex]x^4-2x^3+4x-4[/tex] sont des racines de [tex]x^8-16[/tex]. Comme [tex]x^8-16[/tex]  ne s'annule pas sur [0,1] alors [tex]x^4-2x^3+4x-4[/tex] non plus.

Bonjour,

Ta justification n'est pas bonne.

Supposons que on multiplie numérateur et dénominateur du membre de droite par (2x-1) ...
Cela revient au même pour toute valeur de x ... sauf que pour x = 1/2, le membre de droite n'existe pas (car on divise alors par 0)

L'expression deviendrait (en  multipliant numérateur et dénominateur du membre de droite par (2x-1)) :

[tex]\frac{x^5+x^4+2x^36-4}{x^8-16} = \frac{(x-1)(2x-1)}{(x^4-2x^3+4x-4)(2x-1)}[/tex]

[tex]\frac{x^5+x^4+2x^36-4}{x^8-16} = \frac{2x^2-3x+1}{2x^5-5x^4+2x^3+8x^2-12x+4}[/tex]

Tu appliques un raisonnement analogue à celui que tu as fait ... et tu loupes le fait que le dénominateur du membre de droite s'annule en x = 1/2.

Michel Coste

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Re : Egalité de fractions rationnelles

@bibmgb : ta justification est tout à fait correcte. Effectivement $x^8-16$ n'a pas de zéro sur [0,1], et donc son diviseur [tex]x^4-2x^3+4x-4[/tex] non plus.
L'évaluation d'une fraction rationnelle en un point est un sujet qui peut prêter à des interprétations différentes. Pour moi, une fraction rationnelle est la classe d'équivalence de couples de polynômes $(P,Q)$ avec $Q\neq 0$, pour l'équivalence $(P,Q)\sim(R,S)$ quand $PS=QR$. La classe de $(P,Q)$ se note $\dfrac{P}{Q}$. Elle a un représentant canonique, la "fraction réduite" où numérateur et dénominateur sont premiers entre eux (et où le dénominateur est unitaire, pour avoir l'unicité). Un pôle de la fraction rationnelle est un zéro  du dénominateur de la fraction réduite, et la fraction rationnelle s'évalue bien en une fonction rationnelle définie partout en dehors de ses pôles.

Black Jack

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Re : Egalité de fractions rationnelles

Bonjour,

Chacun son avis ...

Le mien est diamétralement opposé au tien.

Dans mon exemple : le fait que (x^8-16) n'a pas de zéro sur [0;1] n'implique pas que  (2x^5 - 5x^4 + 2x^3 + 8x^2 - 12x + 4) n'a pas de zéro sur [0 ; 1]

Dans cet exemple modifié, le membre de gauche existe sur [0 ; 1] et le membre de droite existe sur [0 ; 1/2[ U ]1/2 ; 1]

Même si la prolongation en 1/2 du membre de droite est possible n'y change rien ... sauf si il est explicitement mentionné que le membre de droite est prolongé en 1/2 par la valeur adéquate.

Dans l'exemple modifié que j'ai donné, l'identité des 2 membres sur [0 ; 1] n'est pas vérifiée en x = 1/2.
Le membre de gauche en x = 1/2 est égal à [(1/2)^5 + (1/2)^4 + 2.(1/2)^3 -4]/[(1/2)^8 - 16] = ...
Le membre de droite n'existe pas x = 1/2

Michel Coste

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Re : Egalité de fractions rationnelles

Black Jack, pourrais-tu au moins reconnaître que la justification de bibmgb est tout à fait correcte ?

Black Jack

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Re : Egalité de fractions rationnelles

Black Jack, pourrais-tu au moins reconnaître que la justification de bibmgb est tout à fait correcte ?

OK parce qu'il a été montré que x^4 - 2x³  + 4x - 4 était diviseur de x^8-16.

bibmgb

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Re : Egalité de fractions rationnelles

Bonjour,
Je poste une nouvelle question sur ce même fil car cette question porte sur la suite du même exercice.
J'ai décomposé en éléments simples la fraction [tex]\dfrac{X-1}{X^4-2X^3+4X-4}[/tex] ce qui donne [tex]\dfrac{1/8}{X-\sqrt{2}}+\dfrac{1/8}{X+\sqrt{2}}+\dfrac{-1/4 X+1/2}{X^2-2X+2}[/tex].
Je dois ensuite intégrer cette fraction sur [0;1].
J'ai un souci pour intégrer [tex]\dfrac{-1/4 x+1/2}{x^2-2x+2}[/tex]. Je souhaite me ramener à quelque chose de la forme [tex]\dfrac{u'(x)}{u(x)}[/tex] puisqu'une primitive est ln(u(x)).
Or [tex]\dfrac{-1/4 x+1/2}{x^2-2x+2}=-\dfrac{1}{8}\dfrac{2x-4}{x^2-2x+2}[/tex]. Si on pose [tex]u(x)=x^2-2x+2[/tex] alors [tex]u'(x)=2x-2[/tex]. J'ai donc un souci car [tex]2x-2\neq 2x-4[/tex].
Pouvez-vous m'aider à avancer ?

Question supplémentaire : y-a-t-il une raison particulière pour séparer la notion de polynôme à une indéterminée X et la fonction polynôme de variable x ?

Merci et bon dimanche.

Cidrolin

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Re : Egalité de fractions rationnelles

On peut écrire :
$\dfrac{2x-4}{x^2-2x+2}=\dfrac{2x-2}{x^2-2x+2}+\dfrac{-2}{x^2-2x+2}$

Michel Coste

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Re : Egalité de fractions rationnelles

y-a-t-il une raison particulière pour séparer la notion de polynôme à une indéterminée X et la fonction polynôme de variable x ?

Soit $K$ un corps. Un polynôme $P\in K[X]$ donne une fonction polynomiale $x\mapsto P(x)$ de $K$ dans $K$. Si $K$ est infini, deux polynômes différents donnent des fonctions polynomiales différentes, et on peut se dire qu'il n'y a pas danger à confondre polynôme et fonction polynomiale, surout si on ne travaille qu'avec $\mathbb R$ ou $\mathbb C$. Mais :
- sur un corps fini, par exemple $\mathbb Z/2\mathbb Z$, le polynôme $X^2+X$, qui n'est pas nul, donne la fonction polynomiale nulle $\mathbb Z/2\mathbb Z \to \mathbb Z/2\mathbb Z$.
- un polynôme $P\in K[X]$ peut s'évaluer non seulement en un élément de $K$, mais aussi en n'importe quel élément d'une $K$-algèbre (par exemple l'algèbre de matrices $M_n(K)$, l'algèbre $K[X]$ etc.). Il a en quelque sorte une personnalité beaucoup plus riche que la simple fonction polynomiale $K\to K$.

bibmgb

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Re : Egalité de fractions rationnelles

Cidrolin, j'ai effectivement pensé à écrire ce type d'égalité.
Mais je ne sais pas intégrer [tex]\dfrac{-2}{x^2-2x+2}[/tex].
Si j'avais simplement [tex]-\dfrac{2}{x^2}[/tex], je saurais primitiver en prenant pour primitive [tex]\dfrac{2}{x}[/tex].
Maintenant si on doit nécessairement passer par [tex]\dfrac{-2}{x^2-2x+2}[/tex]; alors pour primitiver une telle fraction, je proposerai de faire une IPP en dérivant [tex]\dfrac{1}{x^2-2x+2}[/tex] et en primitivant [tex]-2[/tex]; mais encore une fois j'ai l'impression de partir dans des calculs à rallonge mais il n'y a peut être pas plus simple.

Merci Michel Coste pour ces précisions sur l'intérêt des polynômes en tant que tels. Effectivement remplacer l'indéterminée par une matrice ça sert dans la théorie de réduction des endomorphismes.

Cidrolin

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Re : Egalité de fractions rationnelles

Penser à la fonction réciproque de la fonction tangente.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Arc_tangente

Zebulor

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Re : Egalité de fractions rationnelles

Cidrolin, j'ai effectivement pensé à écrire ce type d'égalité.
Mais je ne sais pas intégrer [tex]\dfrac{-2}{x^2-2x+2}[/tex].

Une piste :
$\displaystyle \int_{}^{} \dfrac{1}{(x+b)^2+a^2}~\textrm{d}x=\dfrac{1}{a}Arctan(\dfrac{x+b}{a})+constante$

Tu peux la retenir par coeur...

Dernière modification par Zebulor (01-10-2023 16:20:33)

Roro

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Re : Egalité de fractions rationnelles

Bonjour,

$\displaystyle \int_{}^{} \dfrac{1}{(x+b)^2+a^2}~\textrm{d}x=\dfrac{1}{a}Arctan(\dfrac{x+b}{a})+constante$

Tu peux la retenir par coeur...

Disons qu'on peut retenir par coeur celle ci : $\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2+1}~\textrm{d}x=\mathrm{Arctan}(x)+constante$
et s'y ramener par changement de variable simple (affine ici).

Roro.

Zebulor

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Re : Egalité de fractions rationnelles

Bonjour,
Alors au choix :-) 

On pourra aussi apprendre par coeur les deux formules :-)

Fred

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Re : Egalité de fractions rationnelles

Hello,

  C'est rigolo, moi j'ai retenu (et je fais apprendre...) une primitive de $\frac1{x^2+a^2}$ ....
Les goûts et les couleurs!

F.

bibmgb

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Re : Egalité de fractions rationnelles

En prenant en compte vos remarques voici ce que j'obtiens :
[tex]\int_0^1\frac{-2}{x^2-2x+2} dx=-2\int_0^1\frac{1}{(x-1)^2+1} dx=-2\int_{-1}^0 \frac{1}{y^2+1} dy=-2[arctan y]_{-1}^0=-2\times \dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{2}[/tex]