Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Hello,

  C'est rigolo, moi j'ai retenu (et je fais apprendre...) une primitive de $\frac1{x^2+a^2}$ ....
Les goûts et les couleurs!

F.

Bonjour,

Disons qu'on peut retenir par coeur celle ci : $\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2+1}~\textrm{d}x=\mathrm{Arctan}(x)+constante$
et s'y ramener par changement de variable simple (affine ici).

Roro.

Penser à la fonction réciproque de la fonction tangente.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Arc_tangente

Soit $K$ un corps. Un polynôme $P\in K[X]$ donne une fonction polynomiale $x\mapsto P(x)$ de $K$ dans $K$. Si $K$ est infini, deux polynômes différents donnent des fonctions polynomiales différentes, et on peut se dire qu'il n'y a pas danger à confondre polynôme et fonction polynomiale, surout si on ne travaille qu'avec $\mathbb R$ ou $\mathbb C$. Mais :
- sur un corps fini, par exemple $\mathbb Z/2\mathbb Z$, le polynôme $X^2+X$, qui n'est pas nul, donne la fonction polynomiale nulle $\mathbb Z/2\mathbb Z \to \mathbb Z/2\mathbb Z$.
- un polynôme $P\in K[X]$ peut s'évaluer non seulement en un élément de $K$, mais aussi en n'importe quel élément d'une $K$-algèbre (par exemple l'algèbre de matrices $M_n(K)$, l'algèbre $K[X]$ etc.). Il a en quelque sorte une personnalité beaucoup plus riche que la simple fonction polynomiale $K\to K$.

Bonjour,
Je poste une nouvelle question sur ce même fil car cette question porte sur la suite du même exercice.
J'ai décomposé en éléments simples la fraction [tex]\dfrac{X-1}{X^4-2X^3+4X-4}[/tex] ce qui donne [tex]\dfrac{1/8}{X-\sqrt{2}}+\dfrac{1/8}{X+\sqrt{2}}+\dfrac{-1/4 X+1/2}{X^2-2X+2}[/tex].
Je dois ensuite intégrer cette fraction sur [0;1].
J'ai un souci pour intégrer [tex]\dfrac{-1/4 x+1/2}{x^2-2x+2}[/tex]. Je souhaite me ramener à quelque chose de la forme [tex]\dfrac{u'(x)}{u(x)}[/tex] puisqu'une primitive est ln(u(x)).
Or [tex]\dfrac{-1/4 x+1/2}{x^2-2x+2}=-\dfrac{1}{8}\dfrac{2x-4}{x^2-2x+2}[/tex]. Si on pose [tex]u(x)=x^2-2x+2[/tex] alors [tex]u'(x)=2x-2[/tex]. J'ai donc un souci car [tex]2x-2\neq 2x-4[/tex].
Pouvez-vous m'aider à avancer ?

Question supplémentaire : y-a-t-il une raison particulière pour séparer la notion de polynôme à une indéterminée X et la fonction polynôme de variable x ?

Merci et bon dimanche.

Black Jack, pourrais-tu au moins reconnaître que la justification de bibmgb est tout à fait correcte ?

@bibmgb : ta justification est tout à fait correcte. Effectivement $x^8-16$ n'a pas de zéro sur [0,1], et donc son diviseur [tex]x^4-2x^3+4x-4[/tex] non plus.
L'évaluation d'une fraction rationnelle en un point est un sujet qui peut prêter à des interprétations différentes. Pour moi, une fraction rationnelle est la classe d'équivalence de couples de polynômes $(P,Q)$ avec $Q\neq 0$, pour l'équivalence $(P,Q)\sim(R,S)$ quand $PS=QR$. La classe de $(P,Q)$ se note $\dfrac{P}{Q}$. Elle a un représentant canonique, la "fraction réduite" où numérateur et dénominateur sont premiers entre eux (et où le dénominateur est unitaire, pour avoir l'unicité). Un pôle de la fraction rationnelle est un zéro  du dénominateur de la fraction réduite, et la fraction rationnelle s'évalue bien en une fonction rationnelle définie partout en dehors de ses pôles.