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Glozi

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Re : Théorème de Beatty

Donc finalement tout entier de $\{1,\dots,n\}$ est soit dans $E_a$ soit dans $E_b$.

Cosmic Gate

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Re : Théorème de Beatty

Je ne comprends pas ce passage.

Je ne comprends pas comment on passe de [tex]n=k+l[/tex] (ici on raisonne sur des cardinaux) à [tex]n \in E_a \cup E_b[/tex].

Dernière modification par Cosmic Gate (25-09-2023 23:37:30)

Glozi

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Re : Théorème de Beatty

Pour faciliter la compréhension je note $k_n$ et $l_n$ les $k$ et $l$ qui correspondent à $n$.
Reprend la définition de $k_n$ et $l_n$ en tant que cardinaux, p.ex : $k_n = \text{card}(E_a\cap \{1,\dots, n\})$.
On voit donc que $k_{n+1}$ peut soit être égal à $k_n$ (cela signifie que $n+1$ n'est pas dans $E_a$) soit être égal à $k_n+1$ (cela signifie que $n+1$ est dans $E_a$). De plus on a vu que $k_n+l_n = n$ pour chaque $n$.

Si $k_{n+1}=k_n+1$ alors puisque $k_{n+1}+l_{n+1}=n+1=k_n+l_n+1$ c'est que $l_{n+1}=l_n$ et donc $n+1$ est dans $E_a$ mais pas dans $E_b$ on traite de manière symétrique le cas ou $k_{n+1}=k_n$ car alors $l_{n+1}=l_n+1$.

Cosmic Gate

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Re : Théorème de Beatty

D'accord merci, j'ai réussi à comprendre votre raisonnement en prenant l'exemple suivant.

Soit [tex]a=\sqrt{2} \in \mathbf{R} \backslash \ \mathbf{Q}[/tex] et [tex]b=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} \in  \mathbf{R} \backslash \ \mathbf{Q}[/tex].
On a [tex]E_a=\{1,2,4,5, \cdots \}[/tex] et [tex]E_b=\{3,6,10,13, \cdots \}[/tex]
Si [tex]n=1[/tex], alors [tex]1=k_1+l_1[/tex] ici [tex]k_1=1[/tex] et [tex]l_1=0[/tex].
Si [tex]n=2[/tex], alors [tex]2=k_2+l_2[/tex] ici [tex]k_2=2[/tex] et [tex]l_2=0[/tex].
Si [tex]n=2+1=3[/tex]
On a [tex]3 \in E_a[/tex] donc [tex]k_{2+1}=k_3=k_2+1=2+1=3[/tex]
[tex]3 \notin E_b[/tex] donc [tex]k_3=k_2=0[/tex]

Dernière modification par Cosmic Gate (26-09-2023 11:29:53)

bridgslam

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Re : Théorème de Beatty

Bonjour,

@Glozi

jeu de Wythoff : ou de tsyan-shidzi ("le choix des pierres"), déjà connu des anciens chinois (ne me demande pas l'écriture en chinois...).

Il se joue à deux joueurs, chacun joue après l'autre.
Deux tas de pierres inégaux (sinon celui qui commence gagne toujours...), dans lequel chacun pourra enlever des pierres à son tour de jouer.
A son tour de jeu, un joueur peut retirer autant de pierres qu'il veut d'un seul tas, ou bien un nombre égal de pierres dans chacun.
On ne peut pas passer son tour.

Le vainqueur est celui qui, à son tour de jouer , enlève toutes les pierres restant en jeu.

Les suites de Beatty liées au nombre d'or permettent de voir, par exemple, qu'avec un tas de 28 et un autre de 16, celui qui joue en second a une stratégie facile pour gagner: il astreint à chaque fois le premier joueur à jouer avec des tas égaux à des entiers de Beatty de même rang, ce qui est le cas au tout début,
et il est assez facile de voir qu'il peut toujours y arriver selon les règles de prise, tandis que celui qui a commencé est obligé de s'en écarter, quoique il joue.

A.

Cidrolin

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Re : Théorème de Beatty

Bonjour bridgslam,
C'est plutôt 26 et 16 pour que le second gagne.
On peut éviter les tas de cailloux en partant d'un nombre de la forme $2^a5^b$.
Chaque joueur à son tour divise par une puissance de $2$ , ou bien par une puissance de $5$
ou enfin par une puissance de $10$. Le gagnant est celui qui arrive à $1$.
Amicalement

Dernière modification par Cidrolin (26-09-2023 13:21:05)

bridgslam

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Re : Théorème de Beatty

Bonjour,

Oui en effet coquille, merci !

Il y a en effet plusieurs variantes de jeu qui s'y ramènent, par exemple un échiquier de dimension rectangulaire, et une Dame dans le coin haut-droite du plateau.
La Dame à son tour de jouer se déplace en ligne, colonne, ou diagonale (comme au jeu d' échecs) .
Le premier qui atteint la case en bas à gauche a gagné.

Que l'on considère des actions de retraits (cailloux) , de divisions (retraits d'exposants) , de déplacements décroissants (retraits de cases) etc, avec dans chaque catégorie des possibilités séparées ou également conjointes) on se ramène bien au même sujet (ou isomorphe, terme peut-être plus adéquat ?).

Cordialement,
A.

Dernière modification par bridgslam (28-09-2023 15:17:30)

Cidrolin

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Re : Théorème de Beatty

Bonjour,
Une application (utile ?) du théorème de Beatty :
$u_n$ est le nombre de chiffres de $10^n$ quand on l'écrit en base $2$ (avec $n\geq 1$).
$v_n$ est le nombre de chiffres de $10^n$ quand on l'écrit en base $5$ (avec $n\geq 1$).
Par exemple $u_5=17$ car $100000=11000011010100000_2$
Montrez que ces deux suites forment une partition de $N-\{0;1\}$
Amicalement

bridgslam

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Re : Théorème de Beatty

Re-bjr,

en effet

$ (  \frac{ log(10) }{ log(5) } )^{-1} + (\frac{ log(10) }{ log(2) } )^{-1}  = 1$  ... et les fractions  sont des irrationnels.

Or $ u_n = [ n \frac{ log(10) }{ log(2) } ]  $  ,  $ v_n = [ n \frac{ log(10) }{ log(5) } ]  $

A.

Dernière modification par bridgslam (26-09-2023 16:04:48)

Cosmic Gate

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Re : Théorème de Beatty

Cidrollin merci pour ce bel exercice.

Bridgslam, je ne trouve pas la même chose que toi mais je ne comprends pas pourquoi.
Voici mon raisonnement :
J'écris : [tex]10^n=\overline{a_{u_n -1} \cdots a_1 a_0}^2 = \displaystyle\sum_{k=0}^{u_n -1} a_k \times 2^k[/tex] où [tex]a_{u_n -1} \ne 0[/tex]
On sait que : [tex]2^{u_n -1} \leq 10^n < 2^{u_n}[/tex]
On obtient : [tex]u_n \leq n \dfrac{\ln (10)}{ \ln(2)} +1 < u_n +1[/tex]
Finalement : [tex]\boxed{u_n = \lfloor n \dfrac{\ln (10) }{ \ln(2) } \rfloor +1}[/tex]

De même : [tex]\boxed{v_n = \lfloor n \dfrac{\ln (10) }{ \ln(5) } \rfloor +1}[/tex]

Il faut aussi montrer que [tex]a=\dfrac{\ln(10)}{\ln(5)}[/tex] est irrationnel. Ce que j'ai fait au brouillon et qui n'est pas très difficile en raisonnant par l'absurde.

Cidrolin

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Re : Théorème de Beatty

Bravo Cosmic Gate, il y a bien un +1 dans la formule de $u_n$
Amicalement

Cidrolin

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Re : Théorème de Beatty

Bonsoir,

Je vous livre ma méthode pour démontrer le théorème de Beatty :

1) Soit $x$ un irrationnel positif, on pose $M=\{kx|k\in N^*\}$
Déterminez $M\cap N^*$ ?
2) On classe par ordre croissant les éléments de $M\cup N^*$
Quel est le rang de l'entier $n$?  On note $a_n$ ce rang.
On doit trouver $a_n=E(ny)$ pour un certain réel $y$.
3) Quel est le rang du réel $nx$?  On note $b_n$ ce rang.
4) On pose $A=\{a_n|n \in N^*\}$ et $B=\{b_n|n \in N^*\}$
Déterminez $A\cup B$ et  $A\cap B$
5)  Conclure

Cosmic Gate

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Re : Théorème de Beatty

Il n'y a pas un petit souci ? Comme écrire [tex]u_n[/tex] sous la forme [tex]E_a[/tex] ? Le [tex]+1[/tex] gêne.

En posant [tex]a=\dfrac{\ln(10)}{\ln(2)}[/tex] on a seulement [tex]u_n=E( na) +1 =E(na+1)[/tex]
Mais dans le théorème de Beatty il n'y a pas de [tex]+1[/tex].

Supposons que [tex]a[/tex] est rationnel. Il existe alors [tex](p,q) \in \mathbf{N} \times \mathbf{N}^{*}[/tex] tel que [tex]\dfrac{\ln(10)}{\ln(2)}=\dfrac{p}{q}[/tex] soit [tex]5^q \times 2^q =2^p[/tex]. Comme [tex]q \ne 0[/tex], alors [tex]5[/tex] divise [tex]2[/tex] ce qui est absurde.
De même, [tex]b=\dfrac{\ln(10)}{\ln(5)}[/tex] est irrationnel.

Cidrolin

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Re : Théorème de Beatty

On a d’abord une partition de N^* (quand on ne tient pas compte des +1).
Puis une partition des entiers >1 (quand on tient compte des+1).
Amicalement

Dernière modification par Cidrolin (26-09-2023 19:23:31)

Cosmic Gate

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Re : Théorème de Beatty

On a d’abord une partition de N^* (quand on ne tient pas compte des +1).
Puis une partition des entiers >1 (quand on tient compte des+1).
Amicalement

Je ne comprends pas vraiment ce passage. Dans le théorème de Beatty, on a [tex]E_a= \{ E(na) \ | \ n \in \mathbf{N}^{*} \}[/tex] et [tex]E_b= \{ E(nb) \ | \ n \in \mathbf{N}^{*} \}[/tex]
Je n'ai pas compris comment on peut se ramener à ce théorème dans le cas où [tex]E_a '= 1+ E_a[/tex] et [tex]E_b ' = 1+ E_b[/tex] .

Cidrolin

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Re : Théorème de Beatty

Bonsoir,

Les suites $u'_n=E(n\ln10/\ln2)$ et $v'_n=E(n\ln10/\ln5 )$ forment une partition de $N^*$
Les suites $u_n=u'_n+1 $ et $v_n=v'_n+1$ ne forment pas une partition de $N^*$,
elles forment une partition de $N-\{0;1\}$

Glozi

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Re : Théorème de Beatty

Ce que dit le théorème de Beatty c'est que $E_a\sqcup E_b = \mathbb{N}^*$. Ce que Cirdrolin veut que tu voies c'est qu'en posant $E'_a=1+E_a$ et $E'_b = 1+E_b$ alors $1+(E_a\sqcup E_b)=1+\mathbb{N}^*$ c'est à dire $E'_a\sqcup E'_b = (1+E_a)\sqcup (1+E_b) = 1+(E_a\sqcup E_b)=\mathbb{N}\setminus \{0,1\}$.
Il n'y a rien de compliqué là dedans : tu regardes $\mathbb{N}^*$,  tu colories en rouge les entiers de $E_a$ et en bleu les entiers de $E_b$ puis tu décales tout le coloriage d'un cran vers la droite (tu fais $+1$). Tu as encore un coloriage de tous les entiers $n\geq 2$.
PS : Je vois alors que je m’apprête à envoyer mon message que Cidrolin vient de répondre :)

Cidrolin

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Re : Théorème de Beatty

Bien vu le coloriage Glozi.

Cosmic Gate

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Re : Théorème de Beatty

Cidrolin d'accord merci.
Glozi ton message m'est très utile.

Je peux aussi démontrer à la main que [tex](1+E_a) \cup (1+E_b)= 1+(E_a \cup E_b)[/tex] .
Soit [tex]x \in (1+E_a) \cup (1+E_b) [/tex]. Si [tex]x \in 1+E_a[/tex], il existe [tex]y \in E_a[/tex] tel que [tex]x=1+y \in 1+ (E_a \cup E_b)[/tex]. Si [tex]x \in 1+E_a[/tex], il existe [tex]z \in E_a[/tex] tel que [tex]x=1+z \in 1+ (E_a \cup E_b)[/tex].
On a donc  [tex](1+E_a) \cup (1+E_b) \subset 1+(E_a \cup E_b)[/tex] .
Réciproquement, soit [tex]x \in 1+ ( E_a \cup E_b)[/tex]. Il existe [tex]y \in E_a \cup E_b[/tex] tel que [tex]x=1+y[/tex]. Si [tex]y \in E_a[/tex] alors [tex]x \in 1+ E_a[/tex] et Si [tex]y \in E_b[/tex] alors [tex]x \in 1+ E_b[/tex].
Ce qui montre l'autre inclusion.

Il me reste à essayer de résoudre l'exercice avec la méthode de Cidrolin. Je m'y mets !

bridgslam

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Re : Théorème de Beatty

Effectivement je me suis décalé de 1 dans le nombre de chiffres pour l'exposant, celui de l'unité étant zéro.
désolé pour l'erreur grossière.
Sinon pour les propriétés ensemblistes on peut aussi voir que le prédecesseur d'entier au moins égal à 2 est dans l'une des suites de Beatty, et que les suivants de termes de chaque suite ( donc  différents) sont différents.

A.

Dernière modification par bridgslam (27-09-2023 00:13:39)

Cosmic Gate

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Re : Théorème de Beatty

Bonsoir,

Je vous livre ma méthode pour démontrer le théorème de Beatty :

1) Soit $x$ un irrationnel positif, on pose $M=\{kx|k\in N^*\}$
Déterminez $M\cap N^*$ ?
2) On classe par ordre croissant les éléments de $M\cup N^*$
Quel est le rang de l'entier $n$?  On note $a_n$ ce rang.
On doit trouver $a_n=E(ny)$ pour un certain réel $y$.
3) Quel est le rang du réel $nx$?  On note $b_n$ ce rang.
4) On pose $A=\{a_n|n \in N^*\}$ et $B=\{b_n|n \in N^*\}$
Déterminez $A\cup B$ et  $A\cap B$
5)  Conclure

Bonjour. Je coince sur Q3.

1) [tex]\boxed{M \cap \mathbf{N}^{*}= \emptyset}[/tex] car [tex]x[/tex] est irrationnel.
2) On a [tex]k= \max \{ i \in \mathbf{N}^{*} \ | \ 1 \leq ix \leq n \} [/tex]
Comme [tex]M[/tex] et [tex]\mathbf{N}^{*}[/tex] sont disjoints, on a :  [tex]a_n=\lfloor \dfrac{n}{x} \rfloor +n[/tex].
Finalement [tex]\boxed{a_n=\lfloor ny \rfloor \ \ , \ y=\dfrac{1}{x}+1}[/tex]
3) Je ne vois pas comment procéder.

Dernière modification par Cosmic Gate (27-09-2023 17:32:55)

Cidrolin

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Re : Théorème de Beatty

Avant (au sens large) $nx$ il y a

des entiers $ k$ (ils sont tels que $k\leq nx$)
des réels $k'x$ (ils sont tels que $ k'x\leq nx$)

donc ...

Dernière modification par Cidrolin (27-09-2023 18:08:31)

Cosmic Gate

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Re : Théorème de Beatty

Merci !
Votre indication combiné à l'exemple [tex]n=5[/tex] et [tex]x = \sqrt{2}[/tex] m'a permis de comprendre.
Q3)
Les entiers [tex]1 \leq k \leq nx[/tex] sont au nombre de [tex]\lfloor nx \rfloor[/tex].
Les réels [tex]1 \leq k' x \leq nx[/tex] sont au nombre de [tex]n[/tex]. On doit vérifier [tex]1 \leq k'x \leq nx[/tex]
Finalement : [tex]\boxed{b_n= \lfloor n(x+1) \rfloor}[/tex]

Je réfléchis à la question 4 qui ne me semble pas simple.

PS : erreur rectifiée suite à la remarque de Cidrolin.

Dernière modification par Cosmic Gate (27-09-2023 22:15:57)

Cidrolin

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Re : Théorème de Beatty

Attention : c’est n qui est en facteur.

Cosmic Gate

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Re : Théorème de Beatty

Merci c'est une coquille que j'ai rectifiée. J'ai un peu de mal avec la question 4.
On a [tex]A \cup B= \{ \lfloor n( 1+ \dfrac{1}{x} ) \rfloor \ | \ n \in \mathbf{N}^{*} \} \cup \{ \lfloor n( 1+ x ) \rfloor \ | \ n \in \mathbf{N}^{*} \} [/tex]

Je ne vois pas du tout comment déterminer [tex]A \cup B[/tex].