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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Cosmic Gate
- 28-09-2023 14:26:12
Ah d'accord merci.
On a [tex]\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{\frac{x+1}{x}}=1[/tex]
- Cidrolin
- 28-09-2023 13:57:23
Les deux irrationnels sont $a=1+x$ et $b=1+1/x$
La somme de leurs inverses vaut $1$.
Le th de Beatty est démontré
- Cosmic Gate
- 28-09-2023 13:38:19
Ok merci.
Il semble que par construction on ait [tex]A \cup B= \mathbf{N}^{*}[/tex] et [tex]A \cap B= \emptyset[/tex]
5) Il reste à conclure.
On a [tex]A=E_{1+1/x}[/tex] et [tex]B=E_{1+x}[/tex]
C'est étrange dans le théorème de Beatty, on a deux irrationnels [tex]a,b[/tex].
Comment conclure alors qu'on a qu'un irrationnel ici [tex]x[/tex] ?
Quel était le but de cet exercice ?
- Cidrolin
- 28-09-2023 11:55:42
Bonjour,
$A$ c'est l'ensemble des numéros qu'on donne aux entiers.
$B$ c'est l'ensemble des numéros qu'on donne aux autres : les x,2x,3x,4x,
- Cosmic Gate
- 28-09-2023 11:38:50
Je ne vois pas comment démontrer que [tex]n \in A \cup B[/tex].
- Cidrolin
- 28-09-2023 07:33:43
On remarque que [tex]A=M_{1+1/x}[/tex] et [tex]B=M_{1+x}[/tex]
Non $A$ ne contient que des entiers
Comment je peux savoir si un entier n est dans A ou B alors qu'on ne connait pas x ?
On ne peut pas le savoir, mais dans tous les cas $n\in A \cup B$
Amicalement
- Cosmic Gate
- 27-09-2023 23:45:37
On remarque que [tex]A=M_{1+1/x}[/tex] et [tex]B=M_{1+x}[/tex]
Je n'ai pas compris votre indication.
Comment je peux savoir si un entier [tex]n[/tex] est dans [tex]A[/tex] ou [tex]B[/tex] alors qu'on ne connait pas [tex]x[/tex] ?
- Cidrolin
- 27-09-2023 23:09:35
Dans $M\cup N^*$ il n-y a que deux sortes d'éléments : les $n$ et les $nx$.
1 tombe dans $A$ ou dans $B$
2 tombe ....
.
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2023
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- Cosmic Gate
- 27-09-2023 22:44:08
Merci c'est une coquille que j'ai rectifiée. J'ai un peu de mal avec la question 4.
On a [tex]A \cup B= \{ \lfloor n( 1+ \dfrac{1}{x} ) \rfloor \ | \ n \in \mathbf{N}^{*} \} \cup \{ \lfloor n( 1+ x ) \rfloor \ | \ n \in \mathbf{N}^{*} \} [/tex]
Je ne vois pas du tout comment déterminer [tex]A \cup B[/tex].
- Cidrolin
- 27-09-2023 20:54:54
Attention : c’est n qui est en facteur.
- Cosmic Gate
- 27-09-2023 20:50:45
Merci !
Votre indication combiné à l'exemple [tex]n=5[/tex] et [tex]x = \sqrt{2}[/tex] m'a permis de comprendre.
Q3)
Les entiers [tex]1 \leq k \leq nx[/tex] sont au nombre de [tex]\lfloor nx \rfloor[/tex].
Les réels [tex]1 \leq k' x \leq nx[/tex] sont au nombre de [tex]n[/tex]. On doit vérifier [tex]1 \leq k'x \leq nx[/tex]
Finalement : [tex]\boxed{b_n= \lfloor n(x+1) \rfloor}[/tex]
Je réfléchis à la question 4 qui ne me semble pas simple.
PS : erreur rectifiée suite à la remarque de Cidrolin.
- Cidrolin
- 27-09-2023 17:55:28
Avant (au sens large) $nx$ il y a
des entiers $ k$ (ils sont tels que $k\leq nx$)
des réels $k'x$ (ils sont tels que $ k'x\leq nx$)
donc ...
- Cosmic Gate
- 27-09-2023 17:32:43
Bonsoir,
Je vous livre ma méthode pour démontrer le théorème de Beatty :
1) Soit $x$ un irrationnel positif, on pose $M=\{kx|k\in N^*\}$
Déterminez $M\cap N^*$ ?
2) On classe par ordre croissant les éléments de $M\cup N^*$
Quel est le rang de l'entier $n$? On note $a_n$ ce rang.
On doit trouver $a_n=E(ny)$ pour un certain réel $y$.
3) Quel est le rang du réel $nx$? On note $b_n$ ce rang.
4) On pose $A=\{a_n|n \in N^*\}$ et $B=\{b_n|n \in N^*\}$
Déterminez $A\cup B$ et $A\cap B$
5) Conclure
Bonjour. Je coince sur Q3.
1) [tex]\boxed{M \cap \mathbf{N}^{*}= \emptyset}[/tex] car [tex]x[/tex] est irrationnel.
2) On a [tex]k= \max \{ i \in \mathbf{N}^{*} \ | \ 1 \leq ix \leq n \} [/tex]
Comme [tex]M[/tex] et [tex]\mathbf{N}^{*}[/tex] sont disjoints, on a : [tex]a_n=\lfloor \dfrac{n}{x} \rfloor +n[/tex].
Finalement [tex]\boxed{a_n=\lfloor ny \rfloor \ \ , \ y=\dfrac{1}{x}+1}[/tex]
3) Je ne vois pas comment procéder.
- bridgslam
- 26-09-2023 23:20:03
Effectivement je me suis décalé de 1 dans le nombre de chiffres pour l'exposant, celui de l'unité étant zéro.
désolé pour l'erreur grossière.
Sinon pour les propriétés ensemblistes on peut aussi voir que le prédecesseur d'entier au moins égal à 2 est dans l'une des suites de Beatty, et que les suivants de termes de chaque suite ( donc différents) sont différents.
A.
- Cosmic Gate
- 26-09-2023 22:13:38
Cidrolin d'accord merci.
Glozi ton message m'est très utile.
Je peux aussi démontrer à la main que [tex](1+E_a) \cup (1+E_b)= 1+(E_a \cup E_b)[/tex] .
Soit [tex]x \in (1+E_a) \cup (1+E_b) [/tex]. Si [tex]x \in 1+E_a[/tex], il existe [tex]y \in E_a[/tex] tel que [tex]x=1+y \in 1+ (E_a \cup E_b)[/tex]. Si [tex]x \in 1+E_a[/tex], il existe [tex]z \in E_a[/tex] tel que [tex]x=1+z \in 1+ (E_a \cup E_b)[/tex].
On a donc [tex](1+E_a) \cup (1+E_b) \subset 1+(E_a \cup E_b)[/tex] .
Réciproquement, soit [tex]x \in 1+ ( E_a \cup E_b)[/tex]. Il existe [tex]y \in E_a \cup E_b[/tex] tel que [tex]x=1+y[/tex]. Si [tex]y \in E_a[/tex] alors [tex]x \in 1+ E_a[/tex] et Si [tex]y \in E_b[/tex] alors [tex]x \in 1+ E_b[/tex].
Ce qui montre l'autre inclusion.
Il me reste à essayer de résoudre l'exercice avec la méthode de Cidrolin. Je m'y mets !