Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Cidrolin

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Jamais trois fois un oblong

Bonsoir,
On pose $u_n=n+E(\sqrt{\frac n 3}-\frac13)$
Montrez que $u_n$ n'est jamais le triple d'un oblong.
Autrement dit $u_n$ n'est jamais du type $3m(m+1)$
Amicalement

Glozi

Invité

Re : Jamais trois fois un oblong

Bonsoir,
Merci pour le problème

▼proposition

En fait, je n'ai pas fait les détails calculatoires mais je pense qu'on montre que $\mathbb{N}^*$ se partitionne en deux ensembles : celui des triples d'oblong et celui des entiers de la forme $u_n$.
En effet cela me fait penser à un théorème de Lambek-Moser (je suis tombé dessus récemment grâce à une intervention de bridgslam qui parlait du jeu de Wythoff !)

Bonne soirée

Cidrolin

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Re : Jamais trois fois un oblong

Bonjour Glozi,

C'est exactement ça. Je peux cependant écrire une démonstration qui n'utilise pas L-M.
Amicalement
Édouard Cidrolin

Cidrolin

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Re : Jamais trois fois un oblong

Bonjour,

▼Texte caché

 
On avait $u_n=n+E(\sqrt{\frac n 3}-\frac13)$,
posons $f(n)=\sqrt{\frac n 3}-\frac13$.

La fonction $f$ est strictement croissante et ne prend jamais de valeur entière.
Nous pouvons utiliser ke théorème de Lambek-Moser :

les suites $u_n=n+E(f(n))$ et  $v_n=n+E(f^{-1}(n))$  sont complémentaires.

Ici $f^{-1}(n))=3n^2+2n+1/3$,
donc $v_n=n+E(3n^2+2n+1/3)=3n^2+3n$.

$v_n$ est bien le triple d'un oblong.

Amicalement

Cidrolin

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Re : Jamais trois fois un oblong

Bonjour,

Un exemple d'application du th de Lambek-Moser

▼ Évitons les multiples de huit

 
Posons $u_n=8n=n+7n=n+E(7n+0,5)$

$f$ définie par $f(n)=7n+0,5$ est strictement croissante de $N$ vers $R^+-N$

On a $f^{-1}(n)=\frac {2n-1}{14}$

et $v_n=n+E(\frac {2n-1}{14})=E(\frac{16n-1}{14})$.

La suite $v_n$ donne tous les entiers sauf les multiples de $8$.

Dernière modification par Cidrolin (27-09-2023 09:59:34)

Glozi

Invité

Re : Jamais trois fois un oblong

Je trouve ça très joli, on pourrait imaginer poser une question très mesquine du genre :
calculer $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{v_n^2}$ avec $v_n = E(\frac{16n-1}{14})$, qui eut cru que c'était calculable...

Est-ce que tu peux partager ta preuve sans ce théorème de Lambek-Moser ?
Bonne soirée

Cidrolin

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Re : Jamais trois fois un oblong

Bonsoir,

Posons $M=\{\sqrt{k/3}-1/3 \quad |\quad k\in N^*\}$, on a $M\cap N^*=\emptyset$.

Classons par ordre croissant les éléments  de $M\cup N^*$

On trouve que le rang de $\sqrt{n/3}-1/3$ est $u_n$

Le rang de $n$ est $v_n=3n^2+3n$

C'est semblable à  ma proposition pour le th de Beatty.

Amicalement

Glozi

Invité

Re : Jamais trois fois un oblong

Merci !
Effectivement c'est très malin cette approche de fusionner $M$ et $\mathbb{N}^*$, là je suis éreinté mais il faut encore que je médite dessus pour comprendre exactement pourquoi ça marche si bien.
Merci en tout cas :)

Cidrolin

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Re : Jamais trois fois un oblong

Bonjour,
On peut créer des énigmes avec ces formules.
La date de naissance d'un mathématicien sous la forme
jjmmaaaa est le plus petit  élément de $N^*$ qui n'est pas
dans la suite $u_n=E(\frac{145209270*n-2}{145209265})$.
Qui est-ce ?

Amicalement