Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Paire2ski

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Terme général et calcul de somme

Bonjour, voici l'énoncé:

Montrer que la série dont le terme général est Un=ln(1+x^(2ⁿ)) avec 0<x<1 et n>=0 converge et calculer la somme.

La convergence de Un semble évidente mais le calcul de la somme quant à lui ne l'est pas (pour ma part). On somme des logarithmes donc j'ai l'intuition que le produit des termes à l'intérieur des logs doit se simplifier mais de quelle manière ?

Des idées ou une piste à me donner pour ceux l'ayant calculé ?

Glozi

Invité

Re : Terme général et calcul de somme

Bonsoir,
Il y a une formule close assez sympathique pour $\prod_{k=0}^\infty (1+x^{2^k})$ (lorsque $|x|<1$) et même $\prod_{k=0}^n (1+x^{2^k})$.
Une idée pour la trouver c'est d'essayer de développer ce produit comme une somme de monomes en $x$. Ensuite penser en base $2$...
Bonne soirée

Général Bol

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Re : Terme général et calcul de somme

Autant lui donner la formule à démontrer non?

$$\prod_{k=0}^{n}\left(1+x^{2^{k}}\right)=\sum_{j=0}^{2^{n+1}-1}x^{j}$$

Zebulor

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Re : Terme général et calcul de somme

Bonsoir Général,
il faut quand même laisser les gens chercher un peu ...

Général Bol

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Re : Terme général et calcul de somme

Comme la question avait quelques jours...Mais au fait que devient le questionneur?