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Dr_Piradians

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$f^{-1}(A)\subset f^{-1}(B)\not\Rightarrow A\subset B$

Bonjour, mon livre donne le résultat $A\subset B\implies f^{-1}(A)\subset f^{-1}(B)$.
J'en déduis donc que $f^{-1}(A)\subset f^{-1}(B)\not\Rightarrow A\subset B$. J'essaye de le démontrer. Après avoir longuement réfléchi, le seul contre-exemple que j'ai trouvé c'est lorsque $f^{-1}(A)=\varnothing$, alors on a $f^{-1}(A)\subset f^{-1}(B)$ avec $A$ qui n'est pas nécessairement inclus dans $B$.
Mis à part le cas $f^{-1}(A)=\varnothing$, connaissez-vous d'autres contre-exemples. J'en ai cherchés et je n'en ai pas trouvés.

Dr_Piradians

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Re : $f^{-1}(A)\subset f^{-1}(B)\not\Rightarrow A\subset B$

Je précise que $f^{-1}$ n'est pas une bijection mais l'image réciproque d'un ensemble d'arrivée.

Dr_Piradians

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Re : $f^{-1}(A)\subset f^{-1}(B)\not\Rightarrow A\subset B$

Oui il y a d'autres contre-exemples. Un ensemble $A$ dont une partie des éléments ont des antécédents et une autre partie n'a aucun antécédent. Dans ce cas $f(f^{-1}(A))$ ne donnera pas $A$ mais seulement une partie de $A$. Et il est donc facile de conclure que l'ensemble $A$ n'est pas nécessairement inclus dans $B$.

comaths

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Re : $f^{-1}(A)\subset f^{-1}(B)\not\Rightarrow A\subset B$

Bonjour, $f^{-1}(A) \subset f^{-1}(B) \Rightarrow f(f^{-1}(A)) \subset f(f^{-1}(B))$. Or $f(f^{-1}(A)) = A \cap Im(f)$ et $f(f^{-1}(B)) = B \cap Im(f)$ : on voit que des éléments peuvent être dans $A$ sans être dans $B$ car ils ne sont pas dans l'intersection avec $Im(f)$ (faire un dessin).