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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Bivalve
- 09-08-2023 14:28:48
Merci pour votre aide !
On déduit donc que pour tout x dans R^n, φ ∘ f(x) = φ ∘ f(x0 + λe) = φ ∘ f(x0) + φ ∘ f(λe) = 0 + φ ∘ f(λe) car le noyau est stable par f
= λ φ ∘ f(e)
Il suffit de poser la décomposition de f(e) dans E : f(e) = y + λ'e
Et on a, φ ∘ f(x) = λ φ ∘ f(e) = λ φ( y + λ'e ) = λλ' φ(e) = λ' φ(λe) = λ' φ(x0 + λe) = λ' φ(x)
Donc φ ∘ f = λ' φ
- Roro
- 09-08-2023 13:24:11
Bonjour,
Peut être une indication : si $\varphi$ est une forme linéaire non nulle sur $\mathbb R^n$ alors $\mathrm{ker}(\varphi)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^n$ de dimension $n-1$ (c'est une conséquence directe due théorème du rang).
Il existe donc une droite vectorielle $D=\mathrm{vect}\{e\}$ telle que
$$\mathrm R^n = \mathrm{ker}(\varphi) \oplus D.$$
Ainsi, pour tout $x\in \mathbb R^n$, il existe $x_0\in \mathrm{ker}(\varphi)$ et $\lambda\in \mathbb R$ tel que $x=x_0+ \lambda e$.
Roro.
- Bivalve
- 09-08-2023 11:23:14
Boujour, voici l'énoncé de l'exercice
"
Soient φ une forme linéaire non nulle sur R^n et f un endomorphisme de R^n.
(i) Montrer que le noyau de φ est stable par f <=> (ii) il existe un réel λtel que φ ∘ f = λφ
"
J'ai réussi l'implication de (ii) vers (i) qui était plutôt simple. Cependant, je patauge un peu pour ca réciproque...
Je vous remercie d'avance pour tous vos retours !