Forum de mathématiques - Bibm@th.net

kadaide

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dérivée logarthmique

Bonjour,

f(x)=ln(-x²)
f'(x)=-2x/(-x²) = 2/x
Comment expliquer que f n'est pas définie sur IR alors que sa dérivée existe sur IR ?

Merci d'avance

kadaide

Membre

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Re : dérivée logarthmique

Bonjour,
Je rectifie:
f(x)=ln(-x²)
f'(x)=-2x/(-x²) = 2/x
Comment expliquer que f n'est pas définie sur IR alors que sa dérivée existe sur IR privé de 0 ?

Merci d'avance

Black Jack

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Re : dérivée logarthmique

Bonjour,

On ne peut chercher si la dérivée d'une fonction existe que sur les intervalles où la fonction existe.

S'il s'agit de f(x) = ln(-(x^2)), avec x dans R, alors le domaine d'existence de f est vide... et donc f '(x1) n'existe pas quel que soit x1 dans R.

Le domaine d'existence de f '(x) est obligatoirement "plus petit ou égal" à celui de f(x)
****
Vu autrement :

Le nombre dérivé f(x1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentant f(x) au point d'abscisse x1.

Si f(x1) n'existe pas, il n'y a pas de tangente à la courbe représentant f(x) au point d'abscisse x1 et donc f '(x1) n'a aucun sens.
****

Ce n'est que mon avis de non matheux.

Dernière modification par Black Jack (24-07-2023 12:25:11)

Bernard-maths

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Re : dérivée logarthmique

Bonjour à tous !

Pour moi, matheux, il n'y a pas à tergiverser : si une fonction n'est pas définie sur un domaine, elle n'y a pas de dérivée !

B-m

Eust_@che

Invité

Re : dérivée logarthmique

Bonjour tout le monde !

Kadaide, comment calcules-tu le nombre dérivé de $x \mapsto \ln (-x^2)$ ?
Je pense que tu as directement pris $\ln(y) = 1/ y$ sans rechercher le "sens" de $y$ ici. On peut modifier la définition du logarithme de Neper pour obtenir cette formule pour $y < 0$. Au lieu d'avoir :
$$ \ln(y) = \int_0^y \frac{1}{x} \textrm{d}x$$
qui est la définition de $\ln$, on peut montrer que
$$ \ln_0(y) = \int_y^0 \frac{1}{x} \textrm{d}x < + \infty$$
pour tout $y < 0$, cela permet d'avoir une nouvelle application vérifiant la règle de dérivation souhaitée (en fait, on a $\ln_0(y) = \ln(-y)$). On perd les propriétés du logarithme, mais on retrouve $ln_0(y) = 1/y$ pour $y < 0$. L'application composée $x \mapsto \ln (-x^2)$ est donc bien définie pour $x \neq 0$ et sa fonction dérivée est la fonction que tu as obtenu (en principe, si on a bien calculé, je n'ai pas fais les calculs).

Je ne sais pas si tu as le niveau pour comprendre ce que j'ai écris la-haut, ou si tu as une définition différente du logarithme. Mais simplement, la première formule que j'ai donné est l'une des définitions de l'application $\ln$ (On peut directement la présenter comme la bijection réciproque de $e^x$, mais cela décale le problème et n'obligeant, cette fois, à trouver une définition de $e^x$). Sinon, je suis d'accord avec Black Jack : on ne peut tout simplement pas calculer une dérivée à un endroit où la fonction n'est pas définie.

E.

kadaide

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Re : dérivée logarthmique

Eust_@che
L'application composée x↦ln(−x2) est donc bien définie pour x≠0

Non, je n'ai pas le niveau pour tout comprendre, j'ai que le niveau bac S mais ça date!
Mais alors f(3)=ln(-3²)=ln(-9), j'ai envie de dire que l'application composée x↦ln(−x²) n'est pas définie en 3 ?

yoshi

Modo Ferox

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Re : dérivée logarthmique

B'soir,

Mais, kadaide, $\forall x \in \mathbb R \setminus \{0\}+,\; -x^2 < 0$  et de plus $\ln(0)$ n'est pas n'est pas défini...
Il n'y a donc pas que pour $x=3$ que $\ln(-x^2)$ n'est pas défini...
$\ln(X)$ a pour domaine de définition $]0\;;\;+\infty[$, $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(X)=-\infty$
N'as-tu pas tenté d'obtenir la courbe représentative de $\ln(-x^2)$ ? Non ? Alors, essaie pour voir...

Techniquement, tu as calculé la dérivée, sauf que cette dérivée n'a pas de sens...

@+

Gui82

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Re : dérivée logarthmique

Bonjour,

Je pense qu'Eust_@che voulait dire la composée [tex]x \rightarrow \mathrm{ln}_0(-x^2)[/tex], car la fonction [tex]\mathrm{ln}[/tex] est définie sur [tex]\mathbb{R}^{+*}[/tex] et pas [tex]\mathbb{R}^{-*}[/tex].
Sinon, au niveau de la définition de [tex]\mathrm{ln}[/tex], c'est [tex]\displaystyle \mathrm{ln}(y)=\int_1^y \frac{1}{x}\,dx[/tex] car sinon l'intégrale ne converge pas (ceci [tex]\forall y \in \mathbb{R}^{+*}[/tex]).

Eust_4che

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Re : dérivée logarthmique

Re-bonjour !

(Je me connecte sur mon compte, ce sera plus simple pour modifier mes erreurs, et je tiens à remercier le gentil modo qui a modifier mon code )

En fait, j'ai fait une faute de frappe. Je voulais dire que la fonction $x \mapsto \ln_0(-x^2)$, elle, était bien définie. Je suis désolé si je n'ai pas été clair. Ce que je voulais dire, c'était que, comme on l'a dit plus haut, la question du nombre dérivée de $x \mapsto \ln(- x^2)$ pour $x >0$ n'a pas de sens, car $\ln(-x^2)$ n'existe pas pour $x < 0$. Mon point était que si, malgré cette erreur, tu te retrouvais avec une "formule" correcte pour $x \neq 0$, c'était tout simplement parce qu'en réalité, tu avais calculé la dérivée de la fonction composée $x \mapsto \ln_0(- x^2)$, où l'on a défini $\ln_0$ par l'intégrale :

$$ \ln_0(y) = \int_{-1}^y \frac{1}{x} \textrm{d}x = \ln(- y)$$

qui est parfaitement définie pour tout $y < 0$.

E.

Dernière modification par Eust_4che (24-07-2023 18:24:10)

yoshi

Modo Ferox

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Re : dérivée logarthmique

Bonsoir,

Le gentil modo a modifié ton code en corrigeant l'erreur technique de Latex suivante :
$\frac{1/x}$ ne passe pas !

C'est fromage ou dessert :  soit 1/x, soit \frac{1}{x} pas un mix des 2...
Je n'ai pas touché à la forme, je ne me permettrais pas....
A propos de $\ln_0(x)$, pour éviter toute confusion j'aurais inventé un autre symbole, parce que $\ln_0(x)$ me rappelle trop la notation - "légale" celle-là -$\log_n(x)$ : mais, c'est c'est parfaitement subjectif et nous sommes, encore, dans un pays libre...
Je n'ai pas activé la mention "Dernière modification par ... " afin que cette erreur ne te montre pas du doigt : qui avait besoin de savoir ?

@+

kadaide

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Re : dérivée logarthmique

Merci pour vos réponses.

yoshi
N'as-tu pas tenté d'obtenir la courbe représentative de ln(−x2) ? Non ? Alors, essaie pour voir...

Ce n'est pas possible!

Techniquement, tu as calculé la dérivée, sauf que cette dérivée n'a pas de sens...

Je me contente de cette réponse.

yoshi

Modo Ferox

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Re : dérivée logarthmique

Bonjour,

 

    N'as-tu pas tenté d'obtenir la courbe représentative de $\ln(−x^2)$ ? Non ? Alors, essaie pour voir...

Ce n'est pas possible !

Bin oui ! C'est pourquoi, je t'avais suggéré d'essayer...
Donc, si la fonction n'existe pas, même si - tel une machine - tu as été capable de trouver l'expression littérale de la dérivée, cette expression qui existe  - "sur le papier" est quand même vide de sens...

@+