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#1 06-06-2023 16:35:50
- user1992
- Membre
- Inscription : 06-03-2021
- Messages : 43
Calcul d'une limite d'une fonction définie par une intégrale
Bonjour à tous,
Je bloque sur la question suivante :
Soit $f$ la fonction définie sur $[0, +\infty[$ par :
$$\forall x \in [0, +\infty[, ~f(x) = \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-\pi x t}}{1+t^2} \mathrm{d}t.$$
Je veux montrer que pour tout $x > 0, $ on a : $$0 \leqslant f(x) \leqslant \frac{1}{\pi x}.$$
J'ai tenté de majorer la fonction dans l'intégrale, en considérant $x_0 > 0,$ alors on peut écrire : $$\forall ~x \geqslant x_0 , ~~ \frac{e^{-\pi x t}}{1+t^2} \leqslant \frac{e^{-\pi x_0 t}}{1+t^2} \leqslant \frac{e^{-\pi x_0 t}}{t^2} $$
Ensuite, il s'agit d'intégrer l'inégalité, mais je ne vois pas comment aller plus loin. Une intégration par parties du membre de droite n'a rien donné de convaincant. Un changement de variable non plus...
D'avance merci.
Dernière modification par user1992 (06-06-2023 16:37:38)
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#2 06-06-2023 16:52:09
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 464
Re : Calcul d'une limite d'une fonction définie par une intégrale
Bonjour,
Tu n'as pas fait le bon choix pour majorer $\dfrac{e^{-\pi xt}}{1+t^2}$. Il y a une façon beaucoup plus simple de majorer cette fonction en minorant le dénominateur qui donne immédiatement la majoration voulue de l'intégrale.
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