Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut,

Je supprime mon message, Michel a posté avant moi, et je donnais la majoration.

Bonjour à tous,

Je bloque sur la question suivante :

Soit $f$ la fonction définie sur $[0, +\infty[$ par :

$$\forall x \in [0, +\infty[, ~f(x) = \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-\pi x t}}{1+t^2} \mathrm{d}t.$$

Je veux montrer que pour tout $x > 0, $ on a : $$0 \leqslant f(x) \leqslant \frac{1}{\pi x}.$$

J'ai tenté de majorer la fonction dans l'intégrale, en considérant $x_0 > 0,$ alors on peut écrire : $$\forall ~x \geqslant x_0 , ~~ \frac{e^{-\pi x t}}{1+t^2} \leqslant \frac{e^{-\pi x_0 t}}{1+t^2} \leqslant \frac{e^{-\pi x_0 t}}{t^2} $$

Ensuite, il s'agit d'intégrer l'inégalité, mais je ne vois pas comment aller plus loin. Une intégration par parties du membre de droite n'a rien donné de convaincant. Un changement de variable non plus...

D'avance merci.