Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Le périmètre d'une boule

Le titre de ce fil est complètement farfelu.[tex][/tex]
Il y a en fait une façon tout à fait raisonnable d'associer une longueur à tout corps solide convexe compact. Pour le parallélépipède rectangle de côtés [tex]a,b,c[/tex] c'est [tex]K\times(a+b+c)[/tex], où [tex]K[/tex] est une constante de normalisation (la même pour tous les corps solides). Pour la boule de rayon a, c'est [tex]K\times 4a[/tex]. Pour le cylindre droit de hauteur [tex]h[/tex] et rayon [tex]a[/tex], c'est [tex]K×(\pi a+h)[/tex].
Il serait déraisonnable d'appeler "périmètre" une telle notion. Pourtant ...

Dernière modification par Michel Coste (23-01-2023 21:22:58)

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : Le périmètre d'une boule

Une première approche :
Coinçons un convexe compact [tex]S[/tex] de l'espace euclidien de dimension 3 entre deux plans parallèles. La distance entre ces deux plans est la largeur de [tex]S[/tex] dans la direction orthogonale aux plans.
On peut prendre la largeur moyenne de [tex]S[/tex] en faisant la moyenne des largeurs sur l'espace de toutes les directions.
Quelle est la largeur moyenne d'une boule de rayon [tex]a[/tex] ? (On commence facile).
Quelle est la largeur moyenne d'un segment de longueur [tex]a[/tex], toujours dans l'espace de dimension 3 ? (Un peu plus dur)
Quelle est la largeur moyenne d'un parallélépipède rectangle de côtés [tex]a,b,c[/tex] ? (La question précédente peut aider).
Quelle est la largeur moyenne d'un cylindre droit de rayon [tex]a[/tex] et hauteur [tex]h[/tex] ? (Vache)

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Le périmètre d'une boule

Bonsoir,

Questions intéressantes (et pas toutes faciles). Je n'ai pas encore regardé.

Ceci étant dit, pourquoi appeler ça "périmètre". Ca ressemble plus à un diamètre moyen. Est ce qu'il y a une raison ? (peut être dans les réponses aux questions...)

Roro.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : Le périmètre d'une boule

Re-

  Pour la boule effectivement ce n'est pas difficile. Pour le segment, je dois déjà intégrer une fonction trigonométrique....
Pour le parallélépipède, je n'ai pas encore réfléchi...

F.

Glozi

Invité

Re : Le périmètre d'une boule

Bonsoir,
Je trouve la notion très intéressante, mais je rejoins Roro, je ne vois pas a piori pourquoi cette longueur serait interprétée comme un périmètre ? (même si les formules laissent penser que c'est cohérent quand ça peut l'être...)

J'ai essayé de formaliser un peu le problème en introduisant quelques notations :

On se place en coordonnées sphériques ($\theta$ varie entre $0$ et $\pi$, et $\varphi$ entre $0$ et $2\pi$). Une direction du plan est un couple $(\theta,\varphi)$. L'élément de surface de la sphère de rayon $1$ est $\sin(\theta)d\theta d\varphi$ (cela intègre à $4\pi$ : surface de la sphère de rayon $1$).
Si $C$ un compact convexe non vide de $\mathbb{R}^3$, on note $\ell_C(\theta, \varphi)$ la largeur telle que tu l'as définie entre deux plans parallèles de direction orthogonale $(\theta, \varphi)$.

Ainsi le périmètre de $C$ est donné par : $P(C):=\frac{1}{4\pi}\int_{\varphi=0}^{2\pi} \int_{\theta = 0}^\pi \ell_C(\theta, \varphi)\sin(\theta)d\theta d\varphi.$

Je pense que le raisonnement suivant peut permettre de résoudre tes questions (pourvu qu'il fonctionne...)

▼un essai

Si $C$ est un compact convexe non vide de $\mathbb{R}^3$, Notons $e_3$ le vecteur unitaire autour duquel tourne l'angle $\varphi$ (vecteur qui engendre l'axe à partir du quel est mesuré l'angle $\theta$).

Alors si $r\geq 0$ on pose $C_r := \{x + te_3 | x\in C, |t|\leq r/2\}$
Grosso modo $C_r$ est un épaississement de $C$ dans la direction $e_3$ d'une longueur totale de $r$ (c'est toujours un convexe compact non vide).

Typiquement, si $C$ est un disque dans le plan orthogonal à $e_3$ alors $C_r$ est un cylindre de hauteur $r$ et d'axe $e_3$.

Alors je pense que le lemme suivant est vrai :
$\textbf{Lemme : }$Pour toute direction $(\theta, \varphi)$ alors $\ell_{C_r}(\theta,\varphi) = \ell_C(\theta,\varphi) + |\cos(\theta)|r.$

Je n'ai pas le courage de tenter une démo ce soir mais en faisant un dessin, on peut se convaincre que c'est vrai au moins pour $\theta=0$ et $\theta=\pi/2$, (en gros je pense que l'idée est de prendre un point contact entre $C$ et le plan qui touche $C$ (par la gauche disons) en ce point. Puis dire que le translaté de ce point dans la direction $e_3$ sera également un point de contact entre $C_r$ et le plan qui touchera $C_r$ par la gauche dans la direction $(\theta, \varphi)$.)

Ce lemme implique par exemple ta formule pour le pavé : on peut partir de $C$ un point du plan (périmètre clairement nul), puis choisir des coordonnées sphériques et épaissir $C$ de $a$ dans la direction $e_3$ associée à ces coordonnées sphériques, on obtient un segment. Choisir de nouvelles coordonnées sphériques (ce qui change l'axe $e_3$) et épaissir à nouveau de $b$ on obtient un rectangle (ou même un parallélogramme si on n'a pas choisi une direction orthogonale). Puis choisir à nouveau de nouvelles coordonnées sphériques et épaissir de $c$ (on obtient un parallélépipède (pas forcément rectangle j'ai l'impression)).

ll se trouve que $\frac{1}{4\pi}\int_{\varphi=0}^{2\pi} \int_{\theta = 0}^\pi r|\cos(\theta)|\sin(\theta)d\theta d\varphi = r/2$, et donc $P(C_r)=P(C)+r/2$.
Ainsi un épaississement de $r$ dans une direction coûte un périmètre de $r/2$. Cela donne directement la formule pour le pavé.

Pour obtenir la formule pour le cylindre il s'agit de calculer le périmètre d'un disque puis d'épaissir de $h$ (ce qui rajoute $h/2$ au périmètre).
(La constante $K$ dont tu parles est certainement $K=1/2$).

Pour calculer le périmètre d'un disque de rayon $a$ on se place en coordonnées sphériques de sorte que le disque en question soit dans la plan orthogonal à $e_3$. On voit alors que $\ell_C(\theta, \varphi) = 2\sin(\theta)a$. Et donc le périmètre du disque vaut $\frac{1}{2}\int_0^\pi 2\sin(\theta)^2ad\theta = \frac{\pi a}{2} = K\times \pi a$.
On retrouve donc ta formule pour le cylindre (épaississement de $h$ rajoute $K\times h$ au périmètre).

En tout cas je trouve la définition assez jolie, est-ce que tu as des références qui parlent du sujet ou c'est un création personnelle ?

PS : les calculs doivent être faisables mais affreux pour un tétraèdre (régulier), cependant je me demande si le périmètre obtenu serait bien $K\times 6a$ où $a$ est la longueur de l'arête du tétraèdre... si oui il doit sûrement y avoir généralisation pour tout polyèdre convexe ..?

Bonne soirée

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Le périmètre d'une boule

Bonjour,

Alors après avoir réfléchi (sans écrire donc probablement avec des erreurs... et rapidement), je dirai

Pour la boule de rayon a :

▼Texte caché

$$P(B(a)) = 2a$$

Pour le segment de longueur a :

▼Texte caché

En utilisant des invariances je me ramène à une intégrale $\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2} cos(t)dt$ donc $$P(Seg(a)) = \frac{2}{\pi}a$$

Pour le parallélépipède rectangle de côtés a,b,c :

▼Texte caché

Par symétrie (même rôle pour a, b ou c) et par homogénéité, on doit avoir $P(a,b,c) = \lambda (a+b+c)$. Lorsque $b$ et $c$ tendent vers $0$, on doit retrouver le cas du segment :
$$P(a,b,c) = \frac{2}{\pi} (a+b+c).$$

Pour le cylindre droit de hauteur h et de rayon a :

▼Texte caché

Un peu comme pour le cas précédent, en utilisant que le périmètre d'un cercle de rayon a sera le même que celui d'un segment de longueur 2a :
$$C(a,h) = \frac{2}{\pi} (h+2a).$$

J'ai peut être tout faux, mais ça permettra de lancer des idées !

Roro.

Dernière modification par Roro (24-01-2023 09:33:05)

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Le périmètre d'une boule

Bonjour à tous !

Michel, j'ai beaucoup de mal à voir de quoi tu parles !

Si pour le parallélépipède on a K x (a+b+c), pour le cylindre K x (π . a + h), pourquoi n'y a t il pas de π pour la boule ?

Quels rôles jouent les mensurations de l'objet ?

Merci !

Dernière modification par Bernard-maths (24-01-2023 10:18:26)

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 220

Re : Le périmètre d'une boule

Bonjour,
Pour la boule de rayon $a$, si j'ai bien compris cette largeur $S$ est la même quelque soient les directions $\theta$ et $\phi$ dans le cadre des coordonnées sphériques de Glozi.
Pour le segment cette largeur moyenne serait la moyenne d'une intégrale ... et pour reprendre les notations de Roro, dans un repère bien choisi quand $t$ est nul les plans sont confondus et la largeur $S$ est nulle. Cette dernière est maximale et vaut $a$ lorsque $t$ vaut $\dfrac {\pi}{2}$.
Qui sait, je raconte n'importe quoi ?!

D'une manière générale pour un corps solide qui ne présente pas de symétrie particulière j ai du mal à voir l'interêt que représente cette largeur moyenne de $S$

Dernière modification par Zebulor (24-01-2023 15:40:58)

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : Le périmètre d'une boule

Bonjour,
La largeur moyenne d'une boule de rayon [tex]a[/tex] est [tex]2a[/tex], puisque c'est la largeur dans toutes les directions.
La largeur moyenne d'un segment de longueur [tex]a[/tex] est [tex]a/2[/tex]. On peut utiliser les coordonnées sphériques comme l'a fait Glozi, on peut aussi calculer la hauteur moyenne au dessus de l'équateur d'un point sur l'hémisphère de rayon [tex]a[/tex] supérieur ; en coupant suivant des tranches horizontales, c'est [tex]\dfrac1{2\pi a^2}\int_0^a h\, 2\pi a\,dh=\dfrac{a}{2}[/tex].
La largeur moyenne d'un parallélépipède (rectangle ou non, peu importe) est la somme des largeurs moyenne de ses côtés (c'est vrai pour chaque direction). C'est donc [tex]\dfrac12(a+b+c)[/tex].
Pour le cylindre droit de rayon [tex]a[/tex] de hauteur [tex]h[/tex], Glozi a fait le calcul : [tex]\dfrac12(\pi a+h)[/tex].
Effectivement, la constante [tex]K[/tex] pour la largeur moyenne est [tex]\dfrac12[/tex].

Quel rapport entre la largeur moyenne et le périmètre ? La suite au prochain message.

Dernière modification par Michel Coste (24-01-2023 15:58:07)

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : Le périmètre d'une boule

Cette histoire de largeur moyenne, nous l'avons jouée jusqu'à présent dans l'espace de dimension 3. Mais ça peut se faire en n'importe quelle dimension, par exemple dans le plan euclidien.
Prenons un convexe compact dans le plan euclidien. Il a un périmètre au sens de tout le monde. Le périmètre d'un parallélogramme de côtés [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] est [tex]2(a+b)[/tex], celui d'un disque de rayon [tex]a[/tex] est [tex]2\pi a[/tex].
Quelle est la largeur moyenne (DANS LE PLAN) d'un disque de rayon [tex]a[/tex] ? d'un segment de longueur [tex]a[/tex] ? d'un parallélogramme de côtés [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] ?
Quel est le périmètre d'un convexe compact du plan de largeur moyenne [tex]\ell[/tex] ?
On pourra penser au triangle de Reuleaux et à ses généralisations. Un triangle de Reuleaux est de largeur constante dans le plan, disons [tex]\ell[/tex]. Quel est son périmètre ?

Dernière modification par Michel Coste (24-01-2023 16:46:21)

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 220

Re : Le périmètre d'une boule

L'élément de surface de la sphère de rayon $1$ est $\sin(\theta)d\theta d\varphi$ (cela intègre à $4\pi$ : surface de la sphère de rayon $1$).

Petite parenthèse : ça fait penser à l'angle solide élémentaire :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Angle_solide

Je ferme la parenthèse..

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : Le périmètre d'une boule

les calculs doivent être faisables mais affreux pour un tétraèdre (régulier), cependant je me demande si le périmètre obtenu serait bien [tex]K\times 6a[/tex] où [tex]a[/tex] est la longueur de l'arête du tétraèdre

C'est un peu plus compliqué que ça : [tex]K\times 3\left(1-\dfrac1{\pi}\arccos\left(\dfrac13\right)\right)a[/tex].
On reconnaît [tex]\arccos\left(\dfrac13\right)[/tex], l'angle dièdre.

Dernière modification par Michel Coste (24-01-2023 17:12:07)

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : Le périmètre d'une boule

Si pour le parallélépipède on a K x (a+b+c), pour le cylindre K x (π . a + h), pourquoi n'y a t il pas de π pour la boule ?

Pourquoi devrait-il y en avoir ?

Quels rôles jouent les mensurations de l'objet ?

C'est linéaire : une homothétie de rapport [tex]k[/tex] multiplie par [tex]k[/tex], comme il se doit pour une longueur.

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : Le périmètre d'une boule

Pour un icosaèdre régulier inscrit dans une sphère de rayon [tex]a[/tex], on trouve [tex]K\times \dfrac{15\arccos(\sqrt{5}/3)}{\pi \sin(2\pi/5)}\,a \simeq K\times 3.6635\,a[/tex]. On se rapproche du [tex]K\times 4a[/tex] de la boule, n'est-ce pas ?
Si vous vous demandez d'où sortent ces calculs : d'une autre approche de cette longueur associée à un solide. Ça viendra.

Dernière modification par Michel Coste (24-01-2023 17:55:01)

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : Le périmètre d'une boule

Chose promise, chose due.
J'ai déjà vendu la mèche dans le fil sur la Gömböc.
Le théorème de Steiner-Minkowski https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_d … -Minkowski dit la chose suivante :
Soit [tex]S[/tex] un convexe compact de [tex]\mathbb R^3[/tex]. Soit [tex]B[/tex] la boule fermée unité, soit [tex]\epsilon[/tex] un réel positif. Le volume de la somme de Minkowski [tex]S+\epsilon B[/tex] est un polynôme de degré 3 en [tex]\epsilon[/tex] :
[tex]V(S+\epsilon B) = L_3(S)+ L_2(S)\times 2\epsilon+ L_1(S)\times \pi \epsilon^2+ \dfrac43\pi \epsilon^3[/tex]
[tex]S+\epsilon B[/tex] peut se décrire comme le compact convexe [tex]S[/tex] sur lequel on a passé une couche de peinture d'épaisseur [tex]\epsilon[/tex].
On reconnait bien sûr dans les facteurs [tex]2, \pi, \dfrac43 \pi[/tex] les [tex]d[/tex]-volumes des boules unités de dimensions [tex]d=1,2,3[/tex].
L'invariant homogène à une longueur qui nous intéresse (enfin, qui m'intéresse) est [tex]L_1(S)[/tex]. Autrement dit, la largeur moyenne de [tex]S[/tex] est [tex]\dfrac12 L_1(S)[/tex]. Ce n'est pas évident, mais on se convainc assez facilement que si [tex]S[/tex] est un parallélépipède de côtés [tex]a,b,c[/tex], alors [tex]L_1(S)=a+b+c[/tex] (faire dans sa tête le dessin de la couche de peinture d'épaisseur [tex]\epsilon[/tex]).
De la même façon, si [tex]S[/tex] est le polyèdre régulier à [tex]n[/tex] arêtes de longueur [tex]a[/tex] et d''angle dièdre [tex]\theta[/tex], alors [tex]L_1(S)= n \,\dfrac{\pi-\theta}{2\pi}\,a[/tex].

Dernière modification par Michel Coste (26-01-2023 09:56:19)

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Le périmètre d'une boule

Bonjour à tous !

Ce que raconte Michel est ... passionnant, mais je suis plutôt "largué".

En regardant Wikipédia, cela me rappelle un truc que j'ai bidouillé il y a quelque temps sur le site :

https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=13953

Quelqu'un y trouverait-il un rapport ?

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (26-01-2023 10:55:38)

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 220

Re : Le périmètre d'une boule

Bonjour,

.
..... mais je suis plutôt "largué".

tu n'es pas le seul, mais ça n'enlève rien à l'intérêt du sujet ...

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : Le périmètre d'une boule

Le passage d'une couche de peinture d'épaisseur constante sur un polygone convexe, c'est plutôt ça :

C'est en tout cas la situation de Steiner-Minkowski, et je pense que ce dessin permet de comprendre le théorème dans le cas plan.

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Le périmètre d'une boule

Bonsoir à tous !

Joli dessin de Michel ! Comme dit en # 14, je prépare une figure sur GeoGebra, avec les technique que j'ai expérimentées ... B-m

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 220

Re : Le périmètre d'une boule

Bonsoir,
Quelques icosaèdres :

en voici un :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Icosa%C3% … on-rgb.gif

et un autre, intéressant :
https://mathcurve.com/polyedres/icosaed … edre.shtml

Dernière modification par Zebulor (26-01-2023 21:18:27)

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Le périmètre d'une boule

Bonsoir,

hum, je crois qu'il s'agit pas d'un solide, mais pas augmenté d'une couche de peinture ... comme suggéré par Michel ...

Dernière modification par Bernard-maths (26-01-2023 21:15:09)

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 220

Re : Le périmètre d'une boule

Ah oui,
.. j'oubliais .. alors comme je t ai volé la vedette je te laisse les peindre avec Geogebra Bernard !

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Le périmètre d'une boule

Hum !

Je n'ai pas l'impression d'avoir été dépouillé ...

Mes polygones irréguliers en tiennent une couche, mais irrégulière sur le pourtour !

Les réguliers sont bien sages quant à eux.

Il y a aussi le problèmes des "arrondis" ...

Mais ce sera pour le W-End, car je suis très chahuté en ce moment ...

Bonne nuit ... ne ... ?

Bernard-maths

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : Le périmètre d'une boule

Bonjour,

Dessinons dans notre tête un parallélépipède rectangle augmenté d'une couche de peinture d'épaisseur [tex]\epsilon[/tex], en contemplant le dessin du message #18
En plus du parallélépipède, il y a
- un pavé de peinture d'épaisseur [tex]\epsilon[/tex] sur chaque facette,
- un quart-de-rond de peinture de rayon [tex]\epsilon[/tex] le long de chaque arête,
- un octant de sphère en chacun des huit sommets.
L'invariant qui nous intéresse est la somme des volumes des quarts-de-rond, divisée par l'aire du disque de rayon [tex]\epsilon[/tex]. Il ne dépend pas de [tex]\epsilon[/tex].

Remplaçons maintenant le parallélépipède rectangle par un polyèdre convexe [tex]P[/tex] quelconque, et recouvrons-le d'une couche de peinture d'épaisseur [tex]\epsilon[/tex]. On a maintenant, en plus de [tex]P[/tex] :
- toujours un pavé de peinture d'épaisseur [tex]\epsilon[/tex] sur chaque facette de [tex]P[/tex],
- au lieu des quarts-de-rond le long des arêtes, des baguettes qui sont des portions [tex]\dfrac{\pi-\theta}{2\pi}[/tex] de cylindre de rayon [tex]\epsilon[/tex], où [tex]\theta[/tex] est l'angle dièdre de l'arête,
- des portions de sphère de rayon [tex]\epsilon[/tex] en chaque sommet de [tex]P[/tex], dont la somme sur tous les sommets est ... ?
L'invariant dont on cause est la somme des volumes des baguettes le long des arêtes, divisée par l'aire du disque de rayon [tex]\epsilon[/tex]. Il ne dépend pas de [tex]\epsilon[/tex], juste de [tex]P[/tex].
Avec ça, vous devez pouvoir retrouver sans peine les valeurs de l'invariant données pour les polyèdres réguliers.

L'invariant dont on cause est continu pour la distance de Hausdorff sur l'ensemble des convexes compacts. L'invariant pour un solide [tex]S[/tex] convexe compact est la limite de l'invariant pour les polyèdres enveloppes convexes de points sur la surface du solide, quand on prend de plus en plus de points.

Dernière modification par Michel Coste (27-01-2023 14:59:58)