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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Michel Coste
- 27-01-2023 09:43:42
Bonjour,
Dessinons dans notre tête un parallélépipède rectangle augmenté d'une couche de peinture d'épaisseur [tex]\epsilon[/tex], en contemplant le dessin du message #18
En plus du parallélépipède, il y a
- un pavé de peinture d'épaisseur [tex]\epsilon[/tex] sur chaque facette,
- un quart-de-rond de peinture de rayon [tex]\epsilon[/tex] le long de chaque arête,
- un octant de sphère en chacun des huit sommets.
L'invariant qui nous intéresse est la somme des volumes des quarts-de-rond, divisée par l'aire du disque de rayon [tex]\epsilon[/tex]. Il ne dépend pas de [tex]\epsilon[/tex].
Remplaçons maintenant le parallélépipède rectangle par un polyèdre convexe [tex]P[/tex] quelconque, et recouvrons-le d'une couche de peinture d'épaisseur [tex]\epsilon[/tex]. On a maintenant, en plus de [tex]P[/tex] :
- toujours un pavé de peinture d'épaisseur [tex]\epsilon[/tex] sur chaque facette de [tex]P[/tex],
- au lieu des quarts-de-rond le long des arêtes, des baguettes qui sont des portions [tex]\dfrac{\pi-\theta}{2\pi}[/tex] de cylindre de rayon [tex]\epsilon[/tex], où [tex]\theta[/tex] est l'angle dièdre de l'arête,
- des portions de sphère de rayon [tex]\epsilon[/tex] en chaque sommet de [tex]P[/tex], dont la somme sur tous les sommets est ... ?
L'invariant dont on cause est la somme des volumes des baguettes le long des arêtes, divisée par l'aire du disque de rayon [tex]\epsilon[/tex]. Il ne dépend pas de [tex]\epsilon[/tex], juste de [tex]P[/tex].
Avec ça, vous devez pouvoir retrouver sans peine les valeurs de l'invariant données pour les polyèdres réguliers.
L'invariant dont on cause est continu pour la distance de Hausdorff sur l'ensemble des convexes compacts. L'invariant pour un solide [tex]S[/tex] convexe compact est la limite de l'invariant pour les polyèdres enveloppes convexes de points sur la surface du solide, quand on prend de plus en plus de points.
- Bernard-maths
- 26-01-2023 21:32:31
Hum !
Je n'ai pas l'impression d'avoir été dépouillé ...
Mes polygones irréguliers en tiennent une couche, mais irrégulière sur le pourtour !
Les réguliers sont bien sages quant à eux.
Il y a aussi le problèmes des "arrondis" ...
Mais ce sera pour le W-End, car je suis très chahuté en ce moment ...
Bonne nuit ... ne ... ?
Bernard-maths
- Zebulor
- 26-01-2023 21:20:03
Ah oui,
.. j'oubliais .. alors comme je t ai volé la vedette je te laisse les peindre avec Geogebra Bernard !
- Bernard-maths
- 26-01-2023 21:14:44
Bonsoir,
hum, je crois qu'il s'agit pas d'un solide, mais pas augmenté d'une couche de peinture ... comme suggéré par Michel ...
- Zebulor
- 26-01-2023 21:07:02
Bonsoir,
Quelques icosaèdres :
en voici un :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Icosa%C3% … on-rgb.gif
et un autre, intéressant :
https://mathcurve.com/polyedres/icosaed … edre.shtml
- Bernard-maths
- 26-01-2023 20:41:58
Bonsoir à tous !
Joli dessin de Michel ! Comme dit en # 14, je prépare une figure sur GeoGebra, avec les technique que j'ai expérimentées ... B-m
- Michel Coste
- 26-01-2023 15:20:35
Le passage d'une couche de peinture d'épaisseur constante sur un polygone convexe, c'est plutôt ça :
C'est en tout cas la situation de Steiner-Minkowski, et je pense que ce dessin permet de comprendre le théorème dans le cas plan.
- Zebulor
- 26-01-2023 11:36:12
Bonjour,
.
..... mais je suis plutôt "largué".
tu n'es pas le seul, mais ça n'enlève rien à l'intérêt du sujet ...
- Bernard-maths
- 26-01-2023 10:53:42
Bonjour à tous !
Ce que raconte Michel est ... passionnant, mais je suis plutôt "largué".
En regardant Wikipédia, cela me rappelle un truc que j'ai bidouillé il y a quelque temps sur le site :
https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=13953
Quelqu'un y trouverait-il un rapport ?
Bernard-maths
- Michel Coste
- 26-01-2023 09:51:55
Chose promise, chose due.
J'ai déjà vendu la mèche dans le fil sur la Gömböc.
Le théorème de Steiner-Minkowski https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_d … -Minkowski dit la chose suivante :
Soit [tex]S[/tex] un convexe compact de [tex]\mathbb R^3[/tex]. Soit [tex]B[/tex] la boule fermée unité, soit [tex]\epsilon[/tex] un réel positif. Le volume de la somme de Minkowski [tex]S+\epsilon B[/tex] est un polynôme de degré 3 en [tex]\epsilon[/tex] :
[tex]V(S+\epsilon B) = L_3(S)+ L_2(S)\times 2\epsilon+ L_1(S)\times \pi \epsilon^2+ \dfrac43\pi \epsilon^3[/tex]
[tex]S+\epsilon B[/tex] peut se décrire comme le compact convexe [tex]S[/tex] sur lequel on a passé une couche de peinture d'épaisseur [tex]\epsilon[/tex].
On reconnait bien sûr dans les facteurs [tex]2, \pi, \dfrac43 \pi[/tex] les [tex]d[/tex]-volumes des boules unités de dimensions [tex]d=1,2,3[/tex].
L'invariant homogène à une longueur qui nous intéresse (enfin, qui m'intéresse) est [tex]L_1(S)[/tex]. Autrement dit, la largeur moyenne de [tex]S[/tex] est [tex]\dfrac12 L_1(S)[/tex]. Ce n'est pas évident, mais on se convainc assez facilement que si [tex]S[/tex] est un parallélépipède de côtés [tex]a,b,c[/tex], alors [tex]L_1(S)=a+b+c[/tex] (faire dans sa tête le dessin de la couche de peinture d'épaisseur [tex]\epsilon[/tex]).
De la même façon, si [tex]S[/tex] est le polyèdre régulier à [tex]n[/tex] arêtes de longueur [tex]a[/tex] et d''angle dièdre [tex]\theta[/tex], alors [tex]L_1(S)= n \,\dfrac{\pi-\theta}{2\pi}\,a[/tex].
- Michel Coste
- 24-01-2023 17:50:41
Pour un icosaèdre régulier inscrit dans une sphère de rayon [tex]a[/tex], on trouve [tex]K\times \dfrac{15\arccos(\sqrt{5}/3)}{\pi \sin(2\pi/5)}\,a \simeq K\times 3.6635\,a[/tex]. On se rapproche du [tex]K\times 4a[/tex] de la boule, n'est-ce pas ?
Si vous vous demandez d'où sortent ces calculs : d'une autre approche de cette longueur associée à un solide. Ça viendra.
- Michel Coste
- 24-01-2023 17:15:37
Si pour le parallélépipède on a K x (a+b+c), pour le cylindre K x (π . a + h), pourquoi n'y a t il pas de π pour la boule ?
Pourquoi devrait-il y en avoir ?
Quels rôles jouent les mensurations de l'objet ?
C'est linéaire : une homothétie de rapport [tex]k[/tex] multiplie par [tex]k[/tex], comme il se doit pour une longueur.
- Michel Coste
- 24-01-2023 17:07:05
les calculs doivent être faisables mais affreux pour un tétraèdre (régulier), cependant je me demande si le périmètre obtenu serait bien [tex]K\times 6a[/tex] où [tex]a[/tex] est la longueur de l'arête du tétraèdre
C'est un peu plus compliqué que ça : [tex]K\times 3\left(1-\dfrac1{\pi}\arccos\left(\dfrac13\right)\right)a[/tex].
On reconnaît [tex]\arccos\left(\dfrac13\right)[/tex], l'angle dièdre.
- Zebulor
- 24-01-2023 16:39:24
L'élément de surface de la sphère de rayon $1$ est $\sin(\theta)d\theta d\varphi$ (cela intègre à $4\pi$ : surface de la sphère de rayon $1$).
Petite parenthèse : ça fait penser à l'angle solide élémentaire :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Angle_solide
Je ferme la parenthèse..
- Michel Coste
- 24-01-2023 16:09:20
Cette histoire de largeur moyenne, nous l'avons jouée jusqu'à présent dans l'espace de dimension 3. Mais ça peut se faire en n'importe quelle dimension, par exemple dans le plan euclidien.
Prenons un convexe compact dans le plan euclidien. Il a un périmètre au sens de tout le monde. Le périmètre d'un parallélogramme de côtés [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] est [tex]2(a+b)[/tex], celui d'un disque de rayon [tex]a[/tex] est [tex]2\pi a[/tex].
Quelle est la largeur moyenne (DANS LE PLAN) d'un disque de rayon [tex]a[/tex] ? d'un segment de longueur [tex]a[/tex] ? d'un parallélogramme de côtés [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] ?
Quel est le périmètre d'un convexe compact du plan de largeur moyenne [tex]\ell[/tex] ?
On pourra penser au triangle de Reuleaux et à ses généralisations. Un triangle de Reuleaux est de largeur constante dans le plan, disons [tex]\ell[/tex]. Quel est son périmètre ?