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Claire_SRM

Invité

Application surjective ?

Bonjour,

Dans un livre de mathématiques il y a l'exercice suivant :

L'application f de R² dans R² définie par : f(x,y)=(x,xy-y³) est-elle injective, surjective ?

J'ai bien montré que cette application n'est pas injective en trouvant un contre-exemple mais je sèche pour la partie surjective.

J'ai pris (X,Y) dans R² tel que (X,Y)=(x;xy-y³).
J'arrive donc à X=x et Y=Xy-y³ mais je n'arrive pas à exprimer y en fonction de X et Y.

La correction du livre suggère de faire une étude de la fonction qui à y associe Xy-y³ mais je ne comprends pas bien ce qu'ils attendent exactement.
Avez-vous une idée ?

Je vous remercie.

Mateo_13

Membre

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Re : Application surjective ?

Bonjour Claire,

La correction du livre suggère de faire une étude de la fonction qui à y associe Xy-y³ mais je ne comprends pas bien ce qu'ils attendent exactement.

Il faut que tu prouves que cette application est surjective, donc quel que soit le choix de X, tous les Y possibles seront atteints.

En partant par exemple de X = 10 et Y = 20, choisis au hasard, la surjectivité de la fonction proposée te permets de trouver le y adéquat.

Cordialement,

Dernière modification par Mateo_13 (22-01-2023 07:59:15)

Fred

Administrateur

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Messages : 7 349

Re : Application surjective ?

Bonjour,

  Pour compléter la réponse de Mateo_13, tu ne vas pas pouvoir explicitement $y$ en fonction de $X$ et $Y$, et ce que tu dois montrer c'est que, pour tous $X,Y$ de $\mathbb R,$ la fonction $g:\mathbb R\to\mathbb R,\ y\mapsto Xy-y^3$ est surjective. Un bon outil pour faire cela est le théorème des valeurs intermédiaires....

F.

Claire_SRM

Invité

Re : Application surjective ?

Merci beaucoup pour vos réponses. Je vais essayer d'approfondir de mon côté.

bridgslam

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Messages : 1 903

Re : Application surjective ?

Bonjour,

Pour tout X, la fonction $y ->Xy - y^3$ continue peut être étudiée aux bornes de $\mathbb{R}$ et tu peux ensuite utiliser l'indication de Fred.

Alain