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Vani94 · 05-11-2022 23:59:26

Bonsoir à vous,

Je prend en note et merci à tous pour votre aide.

Gui82 · 05-11-2022 22:09:56

Bonjour,

Pour la question 5, tu dois étudier le signe de [tex]u_{n+1}-u_n[/tex], et les questions 1 et 3 devraient t'aider.
Pour la question6, tu peux voir que la suite [tex](u_n)_{n \ge 1}[/tex] est décroissante et minorée, donc convergente. Et pour la détermination de la limite, tu peux utiliser la relation de récurrence au début de l'énoncé, qui doit te faire résoudre une équation du second degré.

Zebulor · 05-11-2022 21:44:00

Bonsoir à toi et yoshi au passage,
si tu es perdue pour la question 4, tu peux la résoudre à partir de la relation de récurrence : $u_{n+1} = \frac{1}{2} \left(u_n+\frac{2}{u_n}\right)$

yoshi · 05-11-2022 21:35:11

Bonsoir,,

C'est l'heure où je commence à écrire des sottises tu n'as pas trouvé d'erreurs dans ce que j'ai modifié ?
Parce que c'est surtout l'interprétation du $\frac 1 2$ qui m'a ennuyé...
Cette formule est bien correcte ? $u_{n+1} = \frac{1}{2} \left(u_n+\frac{2}{u_n}\right)$

Oui, maintenant c'est bon :
$u_{n+1}^2 = 2 + (\frac{u_n^2-2}{2u_n})^2$

Tu vois bien que $\left(\frac{u_n^2-2}{2u_n}\right)^2 \geq 0$
Donc que par conséquence
$u_{n+1}^2 = 2 + \left(\frac{u_n^2-2}{2u_n}\right)^2\geq 2+0$ soit $u_{n+1}^2\geq 2$
Et donc que
$u_{n+1}\geq \sqrt 2$

Question 4 : c'est du calcul tout bête
Question 5 : si tu factorises $2-u_n^2$, tu vas revoir la $\sqrt 2$... et la question 4 était placée avant la 5. Oui, c'est une évidence, mais pas que...

Cette fois, je me retire pour de bon.

@+

Vani94 · 05-11-2022 21:06:41

Bonsoir et merci pour la rectification,

Du coup marquer ceci serait un peu plus correct :

$u_{n+1}^2 = 2 + (\frac{Un^2-2}{2Un})^2$

$u_{n+1} $= $\sqrt{2+(\frac{Un^2-2}{2Un})^2}$

Donc, $u_{n+1}$ >= $\sqrt2$

yoshi · 05-11-2022 20:32:45

Bonsoir,

J'ai rendu ton post encore plus lisible (ton usage du LaTeX était déjà pas mal du tout ! Bravo !) ; c'était pour qui prendra ma suite, ce soir je suis HS..
J'espère ne pas avoir commis d'erreur : si c'était le cas, toutes mes plus humbles excuses, merci de le signaler...

Mais, je ne peux pas laisser passer ça :

Vani94 a écrit :

$u_{n+1}^2 = 2 + (\frac{u_n^2-2}{2u_n})^2$
...............
$u_{n+1}=\sqrt 2 + \frac{u_n^2-2}{2u_n}$
Donc $u_{n+1} \geq \sqrt 2$

Simple question : depuis quand $\sqrt{a+b}$ est-il égal à $\sqrt a + \sqrt b$ ???
Contre exemple :
$\sqrt{9+16}=5 \neq \sqrt 9 +\sqrt{16} = 3+4 =7$

Tu confonds avec $\sqrt{ab}=\sqrt a \times \sqrt b$...

@+

Vani94 · 05-11-2022 19:54:36

Bonjour,
Je bloque sur mon devoir maison de maths, pourriez-vous m'aider, s'il vous plaît ?
Voici l'énoncé :

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2} \left(u_n+\frac{2}{u_n}\right)$ pour tout entier naturel n.

1.Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, $u_n>0$.

2.Démontrer que pour tout n appartenant à $\mathbb N$, $u_{n+1}^2 -2 =\left(\frac{u_n^2- 2}{2u_n}\right)^2$

3.En déduire que $\forall n \geq 1$, $u_n \geq \sqrt 2$

4. Démontrer que, $\forall n \in \mathbb N,\; u_{n+1}-u_n = \frac{2-u_n^2}{2u_n}$

5. En déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante à partir de n=1

6. En déduire que la suite $(u_n)$ converge puis déterminer sa limite

7. Écrire un algorithme en langage Python permettant, à partir d'un entier p entré par un utilisateur, de donner une valeur approchée de $\sqrt 2$ à $10^{-p}$ près. Le tester pour une valeur approchée de $\sqrt 2$ à $10^{-5}$ près puis à $10^{-7}$ près.

J'ai réussi à faire les 2 premières questions, pour la 3ème j'ai fais ceci :

$u_{n+1}^2 = 2 + (\frac{u_n^2-2}{2u_n})^2$

2+un carré donc supérieur ou égal à 2 et si on prend la racine carrée :

$u_{n+1}=\sqrt 2 + \frac{u_n^2-2}{2u_n}$

Donc $u_{n+1} \geq \sqrt 2$

mais pour le reste je suis un peu perdue.

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