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aloui anas

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la suite u_n+1 = (pi*u_n)/(2+2*u_n) + cos(pi^2/(u_n))

bonjour

pouvez-vous m'aider pour resoudre ce probleme.

u_0 =2*pi

u_n+1 = (pi*u_n)/(2+2*u_n)  + cos(pi^2/(u_n))

montrer que u_n>0 et pi^2/u_n est congurent pi/2 (modulo 2*pi)

montrer que 1/u_n est une suite arithmétique

merci en avance

Zebulor

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Re : la suite u_n+1 = (pi*u_n)/(2+2*u_n) + cos(pi^2/(u_n))

Bonjour Aloui,
Est ce que tu n'aurais pas fait une erreur dans l'écriture de $u_{n+1}$ ? parce que j'ai de plus que de gros doutes pour la suite arithmétique...
C'est du lourd pour du niveau lycée ..

Dernière modification par Zebulor (25-10-2022 15:24:29)

aloui

Invité

Re : la suite u_n+1 = (pi*u_n)/(2+2*u_n) + cos(pi^2/(u_n))

oui je pense c'est trop lourd mais je veux une réponse s'il vous plait
merci en avance

Zebulor

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Re : la suite u_n+1 = (pi*u_n)/(2+2*u_n) + cos(pi^2/(u_n))

Re,
sauf erreur de ma part, mais je revois mes calculs et la suite $(\frac {1}{u_n})$ n'est pas arithmétique.
C'est la raison pour laquelle je soupçonne une erreur de recopie ...

aloui

Invité

Re : la suite u_n+1 = (pi*u_n)/(2+2*u_n) + cos(pi^2/(u_n))

bonjour
pouvez vous envoyez une image votre feuille de  calculs
et merci

Zebulor

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Re : la suite u_n+1 = (pi*u_n)/(2+2*u_n) + cos(pi^2/(u_n))

re,
non mais je peux te donner les résultats suivants :
$u_1=\frac {\pi^2}{2\pi+1}$ et $u_2=\frac {\pi^3}{2(\pi+1)^2}+cos(1)$

De plus la congruence ne fonctionne pas pour $u_1$

A partir de là tu as les 3 premiers termes de la suite des inverses...

De nouveau j'insiste  : est ce bien ceci ?

$u_0 =2\pi$

$u_{n+1} = \dfrac {\pi*u_n}{2+2*u_n}  + cos(\dfrac {\pi^2}{u_n})$

Dernière modification par Zebulor (25-10-2022 16:30:20)

Gloziou

Invité

Re : la suite u_n+1 = (pi*u_n)/(2+2*u_n) + cos(pi^2/(u_n))

Bonjour,

À mon avis Zebulor a raison, l’énoncé tel quel ne marche pas, la suite à considérer sans doute :
$u_0  =  2\pi$,
$u_{n+1} = \frac{\pi u_n}{\pi+2u_n} +\cos\left(\frac{\pi^2}{u_n}\right)$

Bonne journée

Zebulor

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Re : la suite u_n+1 = (pi*u_n)/(2+2*u_n) + cos(pi^2/(u_n))

re,
merci Gloziou et bien vu ! .. ça marche cette fois ci au moins pour la suite des inverses...
Je cherchais en vain l'erreur dans l'expression de $u_{n+1}$..

En supposant que qu'il s'agit de la suite de Gloziou, je te propose de :
_calculer les 3 ou 4 premiers termes de la suite dans le but de trouver (dans le jargon on dit : conjecturer) une expression générale de $u_n$  en fonction de $n$,
_prouver par récurrence que cette expression est vraie pour tout $n$,

ce qui va te permettre de répondre à toutes les questions de ton exercice.

Dernière modification par Zebulor (26-10-2022 08:00:17)

aloui

Invité

Re : la suite u_n+1 = (pi*u_n)/(2+2*u_n) + cos(pi^2/(u_n))

bonjour,
merci infiniment pour votre aide
j'ai trouvé une formule générale qui est

u_n = 2*pi/(4*n+1)

tous les questions devint simple a résoudre