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Altarph

Invité

Etude de fonction

Bonjour,

Pour un devoir maison je dois :

1) Déterminer l'ensemble de définition de f(x) = (e^x+e^-x)/x
2) Étudier la parité de f
3)Montrer que f est dérivable sur son ensemble de définition et calculer sa fonction dérivée. En déduire les variations de f
4)Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f en 1
1)Soit Df l'ensemble de définition de f. Df = R*
2)f(-x)=-f(x) Ainsi, f est impair
3)f est dérivable sur Df en tant que quotient de fonctions usuelles.
    Je trouve f'(x)=(e^(2x)(x-1)-x-1)/x²
4) On cherche à résoudre l'équation y=f'(1)(x-1)+f(1)
      Je trouve y = (-2x+e^2+3)/e

Je ne sais pas comment étudier le signe de f'. Je sais que f' est du signe du numérateur mais après plusieurs tentatives infructueuses, le numérateur étant une différence entre deux termes je n'arrive pas à répondre à la question.
Comment faire ?

Merci d'avance pour votre aide.

Altarph

Invité

Re : Etude de fonction

J'ai eu une piste merci

Black Jack

Membre

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Messages : 509

Re : Etude de fonction

J'ai eu une piste merci

Bonjour,

Tant mieux ...

Mais je te conseille de vérifier ta réponse à la question 3.

Bernard-maths

Membre Expert

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Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Etude de fonction

Bonsoir !

Pour bien suivre le conseil de Black Jack,

il me semble avoir lu quelque part que : (e^ax)' = a e^ax ; et que : (u/v)' = (u'v - uv')/v² !

Bons calculs ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (24-10-2022 19:15:35)

Assad Fayçal

Invité

Re : Etude de fonction

Bonjour,
le numérateur de ta dérivée est correcte. Le dénominateur est x²*exp(x). La fonction f est impaire, il suffit donc que tu étudies les variations sur ]0 ; + infini[. Le numérateur de f' est alors du signe de (x-1)*exp(2x)/(x+1) - 1.
Ceci est une fonction auxiliaire g dont la dérivée est 2x²*exp(2x)/(x+1)² > 0 sur ]0 ; + infini[.
g est strictement croissante, et le théorème des valeurs intermédiaires indique que g possède une racine alpha sur ]0 ; + infini[.
g est négative à gauche de alpha, positive à droite, ce qui donne les variations de f.
Mais tout ceci me paraît très compliqué pour un devoir de Terminale, sans question intermédiaire d'accompagnement.
Je ne l'aurais pas donné à mes élèves sans indiquer la fonction g.
Bon courage.
Fayard