Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Toutim

Invité

Augmentation salariale

Bonjour,

Pourriez-vous SVP m'aider à résoudre ce problème ?
Mon taux horaire en 2015 était à 18 €, en 2022, il est à 23,13 € soit une augmentation de 28,5 % en 15 ans
Je voudrais connaître le taux d’augmentation annuel.
Je sais que ce n'est pas 28,5/15 soit 1,9 % de moyenne.

J'ai trouvé 1,686 % en m'aidant d'Excelmais de manière empirique.
Si vous pouvez me donner la formule.

Merci pour votre aide.
Cdlt

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 220

Re : Augmentation salariale

Bonjour,
.. de 2015 à 2022 ça ne ferait pas plutôt 7 ans ?
Sur 15 ans : c'est une suite géométrique : $18 x^{15}=23.13$ d'où $x=1.01686...$=$(\dfrac {23.13}{18})^{\dfrac {1}{15}}$ d'où une augmentation annuelle 1.686 %

Dernière modification par Zebulor (09-08-2022 15:01:33)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Augmentation salariale

Bonjour,

Une chose m'échappe  : de 2015 à 2022, cela ne fait pas 15 ans, mais 7... Alors ?
Je comprends que ton problème se ramène à :
on place 18 € à un taux  $x$ ($x<1$ 5% =5/100=0.05).
Si 7 ans plus tard,on dispose de 23,13 € quel a été le taux de placement.
Calcul à intérêts composés.

On a donc :
$18(1+x)^7=23.13$
Je me débarrasse de la puissance 7 en passant par le logarithme:
$\ln(18(1+x)^7)=\ln(23.13)$
D'où :
$\ln(18)+7\ln(1+x)=\ln(23.13)$
Et enfin
$\ln(1+x)=\dfrac{\ln(23.13)-ln(18)}{7}$ soit $\approx 0.035822674049597616$
Maintenant à gauche, je veux $1+x$) et non $\ln(1+x)$
Je vais utiliser la fonction réciproque : l'exponentielle.

$e^{\ln(1+x)}=e^{0.035822674049597616}$

Soit $1+x =e^{0.035822674049597616}$

Et $x =e^{0.035822674049597616}-1\approx 0.03647203680529976$

On va dire que le taux approximatif était $3,647\;\%$
Deux vérifications :
*  $18(1+0.03647203680529976)^7$ --> 23,13

* $18(1+0.03647)^7$ --> 23.129681827207875 qui s'arrondit à 23,13 €

C'est cela que tu voulais : le % régulier d'augmentation annuel ?

@+

[EDIT] grillé par Zebulor. 2 méthodes différentes : la sienne est plus rapide, mais on est d'accord :
$\left(\dfrac{23.13}{18}\right)^{\frac 1 7}-1 \approx 0.0364720368052998$

[EDIT2]
Résumé de ce que j'ai proposé en 1 seule formule :
$x=\exp\left({\frac{\ln(23,3)-ln(18)}{7}}\right)-1$

Dès l'instant où le quotient $\dfrac{23,13}{18}=1,285$ est un quotient décimal exact, écrire :

$x=\exp\left({\frac{\ln(1,285}{7}}\right)-1$

donnerait un résultat plus précis... vers les dernières décimales !

Etant donné qu'il s'agit d'un pourcentage et d'une somme finale au centime près, une variation de la 15e décimale est totalement négligeable...

Dernière modification par yoshi (09-08-2022 16:53:59)

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 220

Re : Augmentation salariale

re,
juste pour une tite vérification pour Toutim: $1.06857^{15}-1.03647^7=0.0000032$ très proche de 0 aux arrondis près. Ca colle avec ce que trouve yoshi.
De là  on a aussi $(1.01686)^{\frac {15}{7}}-1=1.03647...$
Et a supposer que Toutim se soit fait voler son ordi ou sa calculatrice, il lui reste une feuille de papier pour poser le calcul :

$18(1+x)^7=23.13$

Comme x est très petit devant 1, $(1+x)^7$ est "assez proche" de  $1+7x$ et on trouve 4,07 % comme approximation ... et 1.899% pour l autre calcul sur 15 ans.

Dernière modification par Zebulor (10-08-2022 11:23:35)

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Augmentation salariale

Bonjour, Zebulor, et cie !

Une autre "astuce" que Zebulor pourra justifier !

Si on emprunte une somme S à un taux de x%, remboursable en n années, à mensualités constantes ... une approximation du montant des intérêts est donnée par I # S * n * (x/2) ... d'autant meilleure que x est "petit". Mais inférieure "de peu" à la réalité !

Bonne journée, Bernard-maths

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 220

Re : Augmentation salariale

Bonjour Bernard!
ah une devinette.. ça semble un peu plus compliqué. Ton x/2 me fait penser à la somme des termes d'une suite arithmétique cette fois ci ..

Bonne journée de même !

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 220

Re : Augmentation salariale

Re,
allez je me jette à l'eau.. je vois $x$ comme l'intérêt annuel.
Si j'ai bien compris chaque année on rembourse (en plus du capital annualisé on peut dire ?)  les intérêts du capital restant dû. Ce dernier vaut à la $p$-ième année $S-p\frac {S}{n}$ et ce après le $p$-ième paiement... Comme on verse les intérêts sur ce capital restant çà donne $V_p=x \frac {n-p}{n}S$..
On a bien $V_1$ = taux *(capital total - sa fraction annuelle) après le premier versement, et $V_n=0$ au dernier versement

La suite $(V_n)$ est bien arithmétique...
Le versement total est la somme des $V_p$ pour $p$ allant de 1 à n..et après calculs ça donne : $Sx \frac {n-1}{2}$..
Alors si $x$ est "petit", et surtout $n$ suffisamment grand ? on peut approximer à $Sx \frac {n}{2}$

Dernière modification par Zebulor (10-08-2022 14:06:01)

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Augmentation salariale

Waouh !

Je n'ai pas souvenir d'avoir fait le calcul ... :-) Mais je l'ai "refilé" à mes élèves comme approximation !

Mais l'approximation est "un peu faible", alors ... ?

Je crois qu'il faut reprendre la formule donnant le montant des intérêts, et diviser par n ...

Je vais regarder ça après la sieste, @ plus ... B-m

Dernière modification par Bernard-maths (10-08-2022 15:09:11)

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Augmentation salariale

Re,

voici un fichier Excel : https://www.cjoint.com/c/LHkrPTUL7Du

On peut CONSTATER que si t varie, t' équivalent (?) vaut environ la moitié, majorée de 10 à 20% !!!

Ce n'est pas une démonstration :--(

B-m

Toutim

Membre

Inscription : 08-08-2022

Messages : 1

Re : Augmentation salariale

Bonjour à toutes et à tous,
Désolé pour l'erreur de frappe? C'est bien sur 15 ans de 2007 à 2022.
Merci à vous d'avoir pris un peu de votre temps à résoudre mon problème.
Je suis nul en math mais j'aime bien comprendre. Je finirai peut-être par savoir calculer la distance entre une étoile et notre Terre...
De là à devenir un futur Hawking ce sera pour une prochaine vie.
Bonne continuation.
Cdlt.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Augmentation salariale

Re,

Je ne travaille pas avec Excel, mais éventuellement OpenOffice Calc, tableur de la suite Apache OpenOffice, voire LibreOffice.calc, mais avec le logiciel de Programmation Python...
Pour moi, c'est plus simple :
- Je n'ai de limite pour les calculs avec nombres entiers, que la quantité de RAM de ma machine,
- Via le module decimal, je peux faire des calculs avec des nombres à virgules avec une précision difficilement égalable : j'ai déjà obtenu la valeur du nombre d'or avec 20000 décimales en quelques secondes (et pourtant Python, langage interprété, n'est pas réputé pour être rapide).
$>>> \exp(\log(1.285)/15)-1$
$0.016857762994905157$
Soit $1,6857762994905157\,\%$

La valeur limitée à 3 décimales obtenue
- par troncature : $1,685$ $\%$  donne $18(1+0.01685)^{15} \approx 23.1273...$ soit 23.13 € (arrondi au centime d'euro près), ou 23,12 par troncature (à 0,01 près)
- par arrondi      : $1,686$ $\%$ donne $18(1+0.01686)^{15} \approx 23.1307...$ soit 23.13 € (arrondi au centime d'euro près) ou 23,13 par troncature (à 0,01 près)
Y a-t-il quelque chose que tu veuilles comprendre ?

Questionne, on répondra...

@+

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 220

Re : Augmentation salariale

Bonjour yoshi et à tous,
petite parenthèse sur ce site je viens de trouver ceci en bordure de cette discussion :

https://www.bibmath.net/quotidien/index … uoi=credit

Dernière modification par Zebulor (11-08-2022 11:01:36)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Augmentation salariale

Re,

Tiens, je n'avais pas encore vu ça...
Bin moi, j'avais pondu, il y a un temps certain, ce Simulateur de calculs financiers en tous genres :
https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=2705

@+