Forum de mathématiques - Bibm@th.net

marioss

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la parité d'une fonction

salut tout le monde ,

j'ai une question : est ce que si on a F ' et impair on peut dire que F est pair ? je voudrais une démonstration s'il est possible .

merci d'avance ...

freddy

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Re : la parité d'une fonction

Salut,

sais-tu un peu chercher sur internet ? Penses-tu que venir picorer tous les jours ici va vraiment t'aider à progresser ?

Une piste : reprends la définition de la dérivée d'une fonction en un point, utilise  la propriété requise et observe.

@+

totomm

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Re : la parité d'une fonction

Bonjour,

@ marioss : Les questions que vous posez pour cette "préparation au bac" sont si diverses et de difficultés si différentes
qu'il faut que vous nous donniez le contexte de votre "préparation" :
Quels sont les ouvrages (titres, auteurs, éditeurs) ou les cours dont vous tirez vos exercices et vos questions ?

Pour une réponse simple à votre dernière question :
quelle est la dérivée, de [tex]-\infty\ à +\infty[/tex] de la fonction [tex]f(x) = x^2\ si\ -\infty<x<0\ et\ f(x) = x^2+1\ si \ 0<x<+\infty[/tex]  ?

Edit : L'intervention de freddy a précédé la mienne, mais je pense comme lui.
Picorer peut aider une fois ou deux, mais n'a pas le même effet sur les poulets et sur le cerveau humain !

Dernière modification par totomm (04-06-2014 10:03:27)

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 385

Re : la parité d'une fonction

Bonjour,

@maioss
Il est toujours avantageux de réfléchir un peu par soi-même : c'est même vivement recommandé parce que très profitable...
Avais-tu cherché un contre-exemple ?
Ce fut mon premier réflexe et j'ai été devancé : eux aussi, je pense que ce fut leur premier réflexe...
Pourquoi donc ai-je tout de suite pensé à ça ?
En pareil cas : "Est-il toujours vrai que ... ?", avant de se lancer dans la recherche d'une démo, on regarde s'il y a des "chances" que la réponse soit non.
Et je me suis dit : Pourquoi donc est-ce que ça serait vrai ?

@+

[EDIT]
J'ai oublié de donner mon contre-exemple...
[tex]f : x \mapsto \ln(x)[/tex] cette fonction définie  sur [tex]]0\;;+\infty[[/tex], n'est ni paire ni impaire.
Sa dérivée [tex]f' : x\mapsto \frac 1 x[/tex] définie sur[tex] ]-\infty\;;0[ \;\cup\;]0\;;+\infty[[/tex] est, elle, impaire.

Dans l'autre sens, dérivée paire et fonction impaire, ça ne marche pas non plus...

Dernière modification par yoshi (05-06-2014 07:50:50)

Un_ignorant

Invité

Re : la parité d'une fonction

Mais ces contres exemples sont un peu limite: si on suppose la fonction dérivable sur R de dérivée continue par morceaux (et donc définie sur R) ou sur [-a;a]*, la question reste posée.

En fait, en intégrant la dérivée de 0 à x et de 0 à (-x)(et changement de var de t en -t:je ne sais plus si c'est au programme), on obtient bien f(-x)-f(0)=f(x)-f(0) et donc f paire.

En revanche si f' paire, on obtient seulement f(-x)-f(0)=f(0)-f(-x) soit f(-x)+f(x)=2f(0): il faut ajouter que f(0)=0 pour obtenir l'imparité.

Les réciproques sont aussi vraies.
On obtient ainsi des moyens de caractériser la parité et l'imparité d'une fonction par rapport à celle de sa dérivée quand on dispose d'une régularité suffisante (soit que la fonction est "gentille", pour reprendre les mots de mon professeur).

* car on se demande bien pourquoi on nous parle de parité de la dérivée quand la fonction n'est même pas définie ou dérivable sur l'intervalle considéré!