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yoshi

Modo Ferox

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Après 3 hommes et un couffin, voilà 3 cercles et un rectangle...

Bonjour,

Pêché dur la toile...
Pas très difficile, mais assez calculatoire...
Qui trouvera la solution la plus économique ?
Les 2 petits cercles ont pour rayon 3 cm, le grand 4 cm, ce sont des cercles inscrits dans chaque triangle.
Le point G est au milieu de de [FH].
Quelles sont donc les dimensions de ce rectangle ?

A vos calculettes...

@+

jpp

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Re : Après 3 hommes et un couffin, voilà 3 cercles et un rectangle...

salut.

▼une réponse

24 x 9

  soit x la largeur et y  la longueur du grand rectangle : alors

  [tex]x = 4 \times{\left[1 + \frac{1}{\cos{2\arctan{\frac13}}}\right]} = 9[/tex]

   et  [tex]y = \frac{2\times{9}}{\tan{[2\arctan{\frac13}]}} = 24[/tex]

▼ démonstration

je trace le cercle symétrique du petit cercle de gauche par rapport au centre de la diagonale gauche.

j'obtiens ainsi un triangle rectangle dont les cotés de l'angle droit mesurent  OP = 3 & PQ = 1

  ainsi l'angle [tex]\widehat{POQ} = \frac{\alpha}{2} = \arctan{\frac13}[/tex]

  Alors  [tex]\widehat{GDE} = \widehat{FQE} = 2\arctan{\frac13}[/tex]  ---> [tex] QE = \frac{4}{\cos{(2\arctan{\frac13}})}[/tex]

  et [tex]x = GQ + QE =  4 +\frac{4}{\cos{(2\arctan{\frac13}})}  = 4\times{\left[1 +\frac{1}{\cos{(2\arctan{\frac13}})}\right]} = 9[/tex]

  et  [tex]y =  \frac{2\times{x}}{\tan{[2\arctan{\frac13}]}} = 24[/tex]

                                                                                                                        à plus.

Dernière modification par jpp (22-10-2012 19:02:03)

jpp

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Re : Après 3 hommes et un couffin, voilà 3 cercles et un rectangle...

salut.

▼sans les angles

  toujours en utilisant le dessin poste #2

  si j'inscris à tour de role  un cercle de rayon 3 puis un cercle de rayon 4 à l'intérieur de 2 triangles rectangles homothétiques , alors le rapport d'homothétie de mes 2 rectangles est [tex]\frac{4}{3}[/tex]

d'autre part si b est la demi longueur de mon rectangle , a sa largeur et c , son hypothénus  , je peux d'abord écrire : [tex]\frac43.b = b+4[/tex] qui donne immédiatement [tex]b = 12[/tex]  d'ou L = 24

d'autre part , le rayon du cercle inscrit dans un triangle  rectangle se formule ainsi :  [tex]r = \frac{a + b - c}{2} =\frac{a + 12 - c}{2} [/tex] ---> [tex]c = a + 6[/tex]  ---> [tex]c^2 = a^2 + 12a + 36[/tex]         (1)
          comme on recherche a    on sait aussi que [tex]c^2 = a^2 + b^2  = a^2 + 144[/tex]         (2)

           donc [tex]12a + 36 = 144    --->   12a  = 108  --->  a = 9[/tex]

                                                                                                                à plus.

Dernière modification par jpp (23-10-2012 18:02:13)

jpp

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Re : Après 3 hommes et un couffin, voilà 3 cercles et un rectangle...

salut.

▼une troisième méthode

j'appelle t un des 2 triangles rectangles  et T le triangle central.  Je pose  a , b & c les 3 cotés de t

c étant l'hypothénus , a , le petit coté à trouver et b le grand coté  et demi-longueur du rectangle.

  t a pour demi périmètre p_t  et T a pour demi périmètre p_T

dans le triangle t :

  [tex]r=3 \; \Rightarrow \;  r = \frac{a+b-c}{2}  \; \Rightarrow \; c = a+b-2r = a+b-6 \; \Rightarrow \; p_t = \frac{2a+2b-6}{2} = a+b-3[/tex]

l'aire de t  se formule ainsi: [tex]\mathcal{A}_t = r.p_t = r.(a+b-3) = 3.(a+b-3) = 3a+3b-9 [/tex]  (1)

dans le triangle T :

[tex]r=4 \; \Rightarrow \;  p_T = b+c = a+2b-6   [/tex]

l'aire de T  se formule ainsi: [tex]\mathcal{A}_T = r.p_T= r.(a+2b-6) = 4.(a+2b-6) = 4a+8b-24  = ab[/tex]  (2) , puisque b est sa demi base .

On sait aussi que [tex]\mathcal{A}_T = 2\times\mathcal{A}_t \; \Rightarrow\; 4a+8b-24=2.(3a+3b-9)\;\Rightarrow \; 2b-2a-6=0 [/tex]

d'ou le système : [tex]\begin{cases}8b + 4a - 24 -ab&=0\\2b - 2a - 6&=0\\\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}8b + 4a - 24 -ab&=0\\8b - 8a - 24&=0\\\end{cases}\; \Rightarrow  ab - 8a = 4a \; \Rightarrow  ab  = 12a\; \Rightarrow b=12 [/tex]

on en déduit [tex]a=9  \;et \; 2b=24[/tex]