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j'appelle t un des 2 triangles rectangles  et T le triangle central.  Je pose  a , b & c les 3 cotés de t

c étant l'hypothénus , a , le petit coté à trouver et b le grand coté  et demi-longueur du rectangle.

  t a pour demi périmètre p_t  et T a pour demi périmètre p_T

dans le triangle t :

  [tex]r=3 \; \Rightarrow \;  r = \frac{a+b-c}{2}  \; \Rightarrow \; c = a+b-2r = a+b-6 \; \Rightarrow \; p_t = \frac{2a+2b-6}{2} = a+b-3[/tex]

l'aire de t  se formule ainsi: [tex]\mathcal{A}_t = r.p_t = r.(a+b-3) = 3.(a+b-3) = 3a+3b-9 [/tex]  (1)

dans le triangle T :

[tex]r=4 \; \Rightarrow \;  p_T = b+c = a+2b-6   [/tex]

l'aire de T  se formule ainsi: [tex]\mathcal{A}_T = r.p_T= r.(a+2b-6) = 4.(a+2b-6) = 4a+8b-24  = ab[/tex]  (2) , puisque b est sa demi base .

On sait aussi que [tex]\mathcal{A}_T = 2\times\mathcal{A}_t \; \Rightarrow\; 4a+8b-24=2.(3a+3b-9)\;\Rightarrow \; 2b-2a-6=0 [/tex]

d'ou le système : [tex]\begin{cases}8b + 4a - 24 -ab&=0\\2b - 2a - 6&=0\\\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}8b + 4a - 24 -ab&=0\\8b - 8a - 24&=0\\\end{cases}\; \Rightarrow  ab - 8a = 4a \; \Rightarrow  ab  = 12a\; \Rightarrow b=12 [/tex]

on en déduit [tex]a=9  \;et \; 2b=24[/tex]

24 x 9

  soit x la largeur et y  la longueur du grand rectangle : alors

  [tex]x = 4 \times{\left[1 + \frac{1}{\cos{2\arctan{\frac13}}}\right]} = 9[/tex]

   et  [tex]y = \frac{2\times{9}}{\tan{[2\arctan{\frac13}]}} = 24[/tex]

je trace le cercle symétrique du petit cercle de gauche par rapport au centre de la diagonale gauche.

j'obtiens ainsi un triangle rectangle dont les cotés de l'angle droit mesurent  OP = 3 & PQ = 1

  ainsi l'angle [tex]\widehat{POQ} = \frac{\alpha}{2} = \arctan{\frac13}[/tex]

  Alors  [tex]\widehat{GDE} = \widehat{FQE} = 2\arctan{\frac13}[/tex]  ---> [tex] QE = \frac{4}{\cos{(2\arctan{\frac13}})}[/tex]

  et [tex]x = GQ + QE =  4 +\frac{4}{\cos{(2\arctan{\frac13}})}  = 4\times{\left[1 +\frac{1}{\cos{(2\arctan{\frac13}})}\right]} = 9[/tex]

  et  [tex]y =  \frac{2\times{x}}{\tan{[2\arctan{\frac13}]}} = 24[/tex]

                                                                                                                        à plus.