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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

Fred
26-10-2011 12:49:48

Re-
  L'image de rien... c'est rien!

Fred.

Indunil
26-10-2011 08:16:09
Fred a écrit :

Il faut maintenant trouver un contre-exemple pour prouver que l'inclusion inverse est fausse.
En voici un : prends f définie sur R et identiquement égale à 1, et prend A={0} et B={1}.

Bonjour,

Dans ce cas,   f(A)=[tex]\left\{1\right.[/tex][tex]\left\}\right.[/tex]   et   f(B)=[tex]\left\{1\right.[/tex][tex]\left\}\right.[/tex]

Donc   f(A) [tex]\cap [/tex] f(B) = [tex]\left\{1\right.[/tex][tex]\left\}\right.[/tex]

soit x [tex]\in [/tex] f(A) [tex]\cap [/tex] f(B)  alors   x = 1

D'autre part,    A[tex]\cap [/tex]B = [tex]\varnothing[/tex]

Mais là,   f([tex]\varnothing[/tex])   vaut   1   ou   [tex]\varnothing[/tex]  ?

Merci

Indunil
24-10-2011 21:39:44

Merci beaucoup Fred.

Roro
23-10-2011 21:35:24

Bonsoir,

Indunil a écrit :

1)  soit x [tex]\in [/tex] f(A[tex]\cap [/tex]B)

Pourquoi un tel [tex]x[/tex] existe-t-il ?

Regarde l'exemple suivant : [tex]f=\sin[/tex], [tex]A=[0,\pi][/tex] et [tex]B=[2\pi,3\pi][/tex].

Roro.

P.S. Encore doublé par Fred !

Fred
23-10-2011 21:30:39

Bonsoir,

  Non, ce n'est pas correct. Tu n'as pas le droit de parler de [tex]f^{-1}(x)[/tex] car on ne sait pas si f est bijective.
Ce que tu peux écrire, c'est que
[tex]x\in f(A\cap B)\iff \exists y\in A\cap B,\ x=f(y)[/tex]
Tu peux assez facilement en déduire que nécessairement [tex]x\in f(A)\cap f(B)[/tex].

Pour la réciproque, si tu prends [tex]x\in f(A)\cap f(B)[/tex], alors tu peux écrire que
[tex]\exists y\in A,\ x=f(y)[/tex] et [tex]\exists z\in b,\ x=f(z)[/tex]. Le problème, c'est qu'il n'y pas de raison que
y soit égal à z. Il faut maintenant trouver un contre-exemple pour prouver que l'inclusion inverse est fausse.
En voici un : prends f définie sur R et identiquement égale à 1, et prend A={0} et B={1}.

Fred.

Indunil
23-10-2011 10:39:35

Bonjour,

1)  soit x [tex]\in [/tex] f(A[tex]\cap [/tex]B)

x [tex]\in [/tex] f(A[tex]\cap [/tex]B)   [tex]\Longleftrightarrow [/tex]   f -1(x) [tex]\in [/tex] A[tex]\cap [/tex]B
                       [tex]\Longleftrightarrow [/tex]   f -1(x) [tex]\in [/tex] A et  f -1(x) [tex]\in [/tex] B
                       [tex]\Longleftrightarrow [/tex]  x [tex]\in [/tex] f(A) et  x [tex]\in [/tex] f(B)
                       [tex]\Longleftrightarrow [/tex]  x [tex]\in [/tex]  f(A) [tex]\cap [/tex] f(B)

conclusion:   f(A[tex]\cap [/tex]B) =  f(A) [tex]\cap [/tex] f(B)

Est-ce que c'est correcte? L'inclusion inverse est vraie?
Merci

freddy
23-10-2011 05:31:08

Salut,

tu veux savoir quoi ?

Indunil
22-10-2011 23:25:41

Bonjour,

1) Montrer que   f(A[tex]\cap[/tex]B)   [tex]\subset [/tex]   f(A) [tex]\cap[/tex] f(B)
    L'inclusion inverse est-elle vraie?
2) Montrer que f(E)\ f(A)   [tex]\subset [/tex]   f(E\A)
    L'inclusion inverse est-elle vraie?

Merci d'avance.

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