une autre histoire de cable .

jpp · 31-08-2011 19:14:19

Bonsoir à tous .

Comment ne pas péter un cable?

le problème d'un cable d'ascenseur , c'est que lorsqu'il commence à etre long , son poids doit etre
pris en considération. c'est pour celà que dans les puits très profonds on utilise des cables toronnés
dont on diminue la section en lui supprimant des torons au fur et à mesure que l'on s'approche de la
cabine. il est donc constitué géomètriquement de cylindres de section décroissante , la plus petite
étant évidemment celle qui part de la cabine. Et là , il y a des points faibles sur le cable .

Maintenant , avec les progrès en métallurgie et en technologie , on doit pouvoir fabriquer un cable
avec un matériau possèdant des caractéristiques similaires à celles des aciers quant à la résistance à
l'arrachement par exemple , mais ayant aussi une densité inférieure à celle de ces memes aciers.

Ce cable est ce qu'on appelle un cable d'égale résistance sur toute sa longueur.

Sa section de départ juste au dessus de la cabine , je la nomme S₀

Ce cable doit descendre dans une mine d'or abandonnée d'une profondeur d'environ 1600 m

Inutile de dire que son poids doit etre pris en compte ; d'ailleurs il peut etre supérieur à celui de la
cabine .
Toujours est-il qu'après les calculs , connaissant le poids de la cabine , la densité du cable et la résistance
à l'essai de traction du matériau servant à la fabrication du cable , et en lui affectant un coefficient de
sécurité C correct pour s'affranchir des problèmes d'accélérations et décélérations ,il se trouve que
la section S₀ = 628 mm²

100m au dessus la sectionS₁₀₀ = 670.43mm²

avec ces information je peut fabriquer mon cable.

Par exemple , je peux donner sa section à S_L à L m au dessus de la cabine.

Quelle est , par exemple cette section à L = 1500m ? et comment la calculer ?

Question subsidiaire. Si P est le poid de la cabine, quel est le poids en fonction de P et C
des 1500 premiers mètres de cable au dessus de celle ci ?

bon courage.

Dernière modification par jpp (01-09-2011 17:53:33)

jpp · 01-09-2011 18:04:15

Bonsoir.

je tiens à ajouter cette information concernant le coefficient de sécurité C.

Si je donne par exemple C = 2 cela signifie que j'ai calculé ma section S₀ de
départ en doublant le poids de ma cabine , donc que mon cable va se rompre en S₀
avec une cabine de poids 2P. Je tenais tout de meme à le préciser . Le cable est donc défini
à partir de la charge équivalente à 2P pour y accrocher par la suite une charge P.

à plus.

Golgup · 02-09-2011 16:19:38

hi

De deux choses l'une; si le câble est toronnés, alors le modèle du cône convient plus que celui des cylindres empilés non?
Aussi, comment un câble composé d'un seul matériaux et d'une section décroissante peut il s'appeler "cable d'égale résistance sur toute sa longueur"

Enfin..

Dans ce cas on a [tex]{S}_{L}=\,1{0}^{-4}\left[{S}_{0}{\left(100-L\right)}^{2}+2L\sqrt{{S}_{0}{S}_{100}}\left(100-L\right)+{L}^{2}{S}_{100}\right][/tex]

(et alors [tex]{S}_{1500}[/tex] vaut à peu prés 1410 mm²)

Mais posons [tex]{s}_{0}=1{0}^{-6}{S}_{0}[/tex]

et à supposer que le câble soit fait en acier, d'une densité [tex]{d}_{a}[/tex]
et on connait la masse volumique de l'eau [tex]{\rho }_{e}[/tex] = 1000kg/m3

Donc la masse [tex]{m}_{L}[/tex] du câble de longueur [tex]{L}[/tex] vaut [tex]{d}_{a}\times {\rho }_{e}\times {v}_{c}[/tex]

ou [tex]{v}_{c}[/tex] est le volume du câble.

Finalement, après calculs, on obtient [tex]{m}_{L}=\,{d}_{a}\times {\rho }_{e}\times [/tex][tex]\frac{\left[\frac{{\left(100-L\right)}^{2}+2L\sqrt{{s}_{0}{s}_{100}}\left(100-L\right)+{L}^{2}{s}_{100}}{1{0}^{4}}\left(L+\frac{100\sqrt{{s}_{0}{s}_{100}}+100{s}_{0}}{{s}_{100}-{s}_{0}}\right)-{s}_{0}\frac{100\sqrt{{s}_{0}{s}_{100}}+100{s}_{0}}{{s}_{100}-{s}_{0}}\right]}{3}[/tex]

je ne ferais pas le calcul,

mais je suppose que ce n'est pas une réponse de ce style qui st attendue pour la question subsidiaire, et si il ne faut utiliser que les donnés du texte, alors la seule chose que je vois, c'est que si f est la fonction qui associe la section Si du câble de longueur i (depuis la cabine), en fonction de la densité, l'accelertion,...c et P, alors Si=f(CP+Pi) avec Pi le poids totale de cette longueur de câble.

Dernière modification par Golgup (02-09-2011 16:22:08)

jpp · 02-09-2011 18:01:55

Bonjour.

le cable serait un cable idéal composé d'un unique matériau parfaitement homogène avec une section
S_i qui évolue. Et la question est de savoir comment elle évolue.

La section S₀ a été calculée en connaissant le poids P de la cabine que l'on
a multiplié par le coefficient de sécurité C > 1 bien entendu .

des essais sur le matériau utilisé ont donné une résistance à l'essai de traction

[tex]R_p = \frac{C.P}{S_0}[/tex]

Et le cable n'est pas conique ; il pourrait l'etre mais ce ne serait pas le cable idéal d'égal résistance.

Connaissant la R_p du matériau , [tex]\rho[/tex] sa densité , g étant l'accélération

de la pesanteur [tex]g\approx9.81m.s^{-2}[/tex], on a pu calculer la section S₁ correspondant à une longueur L = 100m au dessus de la cabine. et toutes les autres sections
d'ailleurs. Mais avec les données suivantes S₀ , S₁ , 100 et 1500,

on doit pouvoir calculer S₁₅₀₀ et aussi plus généralement S_L à toute
distance L sans connaitre forcément les autres données [tex]\rho [/tex] et [tex] R_p[/tex]

à plus.

Golgup · 02-09-2011 18:21:08

re,

Mais bon sang, il s'agit d'une énigme ou d'un problème bien biscornu parce que là.. tu donnes des info petits à petit, c'est n'importe quoi.

Ne veux tu pas faire la liste complète de ce qu'il faut comme éléments qu'il faut pour répondre, puis poser la question clairement, c'est quoi cette mode des question subsidiaires...

Les autres, vous avez compris?

jpp · 02-09-2011 18:49:48

Re

@ Golgup

Il s'agit bien de mathématique. et il n'est pas interdit d'utiliser d'autres données que des x , y z que je sache.

Il faut rechercher une fonction S = f(y) ou S est la section à la distance y de la cabine.

Pourquoi serait-ce n'importe quoi ? Tu cherches calmement . et il n'y a rien de déshonnorant à passer des

jours ou des mois sur un problème.

à plus.

Golgup · 02-09-2011 19:46:18

Ok mais je ne comprends pas deux choses:

on a pu calculer la section S1 correspondant à une longueur L = 100m au dessus de la cabine

or tu dis

100m au dessus la sectionS100 = 670.43mm2

et

il est donc constitué géomètriquement de cylindres de section décroissante

et apres tu dis

la question est de savoir comment elle évolue

jpp · 03-09-2011 08:13:34

Bonjour.

@ Golgup.

Effectivement, il y a 2 étapes et 2 fonctions à trouver.

a) la première qui utilise tous les paramètres ( P , g , R_p , [tex]\rho[/tex] et C ) et qui permettrait de
calculer tous les couples (S_i , Y_i ) pour fabriquer le cable.
b) avec un seul couple , par exemple (S₁₀₀ , y₁₀₀ c.a.d. ( 670.43 , 100 )
il est possible de trouvé une autre fonction S = f(y) utilisant le couple S₁₀₀ , 100 qui, lui ,
va remplacer en quelque sorte tous les paramètres indispensables dans la première fonction. Si je me suis
bien fait comprendre.

pour répondre à ton autre question, la fonction est continue . Et si tu empiles des cylindres , c'est qu'il y a
des changements instantanés de section ; et là ce n'est plus le cable d'égale résistance que l'on cherche.

Un cable d'égale résistance c'est un cable ou en tout point il va rompre avec une charge C.P

Ce qui revient à écrire [tex]R_p = \frac{C.P + poids\;du\;cable\;au\;dessous\;de\;S_i}{S_i} \; \forall i[/tex]
et là je pense avoir amené de l'eau à ton moulin.

à plus.

Dernière modification par jpp (03-09-2011 08:14:53)

Golgup · 03-09-2011 10:09:37

Ok,

Juste, pour la formule censée donnée de l'eau à mon moulin, elle découle de celle du post 4, donc non..

Bon, j'ai raisonné comme suit: (on note [tex]{r}_{i}[/tex] le rayon du câble au point i)

Le câble casse en [tex]{r}_{0}[/tex] avec une charge CP, donc si le câble casse avec une charge KCP en j (K>0) alors c'est que [tex]{s}_{j}[/tex] est K fois plus grande que [tex]{s}_{0}[/tex] donc [tex]{r}_{j}[/tex] [tex]={r}_{0}\sqrt{K}[/tex]

De même, si le câble casse au point L avec une charge T+CP alors ramenons le problème a celui de ci dessus: T+CP=KCP donc K=T/CP +1
et alors c'est que [tex]{r}_{L}={r}_{0}\sqrt{\frac{T}{CP}+1}[/tex]

Maintenant, ton câble vérifie la condition suivante (et notons [tex]{P}_{0\rightarrow i}[/tex] le poids du câble en dessous de si):
[tex]{P}_{0\rightarrow i}[/tex] [tex]+CP[/tex] fait casser le câble en i.

Donc le câble casse au point i de rayon [tex]{r}_{i}={r}_{0}\sqrt{\frac{{P}_{0\rightarrow i}}{CP}+1}[/tex]

et donc [tex]{P}_{0\rightarrow i}=\left(\frac{{s}_{i}}{{s}_{0}}-1\right)CP[/tex] cela répond à la question subsidiaire mais pas à la première. je n'ai plus le temps, je chercherait la ruite apres

++

Dernière modification par Golgup (03-09-2011 11:00:43)

jpp · 03-09-2011 11:17:32

Re.

Ok pour la question subsidiaire. réponse que tu a donné au poste #9 [tex]P_{0->i} = (\frac{S_i}{S_0}-1) . C.P[/tex]

pour le volume du cable _ qui n'est pas demandé_ il te suffit de diviser le poids de ton cable par [tex]\rho.g[/tex]

soit [tex]V_{0->i} = \frac{P_{0->i}}{\rho.g}[/tex]

Dernière modification par jpp (03-09-2011 11:23:18)

jpp · 03-09-2011 11:31:07

re

un poids en kg , moi je doute [tex]F = m . \gamma[/tex]

donc P en Newton = m . g ( m en kilogrammes et g en m/s²)

dans le systeme MKSA le newton est un kg.m.s^-2.

Golgup · 03-09-2011 11:33:45

re

de toute façon c’était faux, j'ai supprimé le msge.

Il reste à trouver S_L pour tos L c'est ça?

jpp · 03-09-2011 12:05:01

re.

exact. tu as tout compris.

Golgup · 03-09-2011 16:17:58

Ok, alors l'idée est de faire tendre les sous masses m_i du câbles vers 0, de plus [tex]{r}_{i}={r}_{0}\sqrt{\frac{\sum^{i}_{k=1}{m}_{i}}{CP}+1}[/tex]

soit [tex]{d}_{x}[/tex] [tex]={r}_{i+h}-{r}_{i}[/tex] et [tex]{d}_{y}=h[/tex] et alors la fonction qui donne le profil du câble est une primitive de [tex]\frac{{d}_{x}}{{d}_{y}}[/tex] et la connaissance de S_100 nous aidera à savoir laquelle je pense

Je reviens pour plus tard.

[edité]

Dernière modification par Golgup (03-09-2011 19:22:15)

Golgup · 04-09-2011 11:17:06

re

mieux, renotons [tex]y'=[/tex][tex]S\left(x\right)\,[/tex] la section du câble à une distance x de la cabine et [tex]P\left(L\right)[/tex] le poids de cette distance de câble.

De plus, [tex]P\left(L\right)=d.\rho .g\int^{L}_{0}S\left(x\right){d}_{x}[/tex]

donc [tex]y=[/tex][tex]\int^{L}_{0}S\left(x\right){d}_{x}=\,S\left(L\right)\frac{CP}{S\left(0\right).d.\rho .g}-\frac{CP}{d.\rho .g}[/tex]

soit [tex]y'=y\frac{S\left(0\right).d.\rho .g}{CP}+S\left(0\right)[/tex]

donc [tex]{S}\left(x\right)=k{e}^{\frac{S\left(0\right).d.\rho .g}{CP}x}-\frac{CP}{d.\rho .g}[/tex]

avec [tex]k=\frac{S\left(100\right)+\frac{CP}{d.\rho .g}}{\exp \left(\frac{100S\left(0\right)d.\rho .g}{CP}\right)}[/tex]

je re tt dsuite

Dernière modification par Golgup (04-09-2011 11:28:38)

Golgup · 04-09-2011 11:42:14

C'est bien ce que je pensais, la forme du câble ressemble à un vase convexe*, les formes les plus optimales sont celles naturellement faites par la nature: imaginons un cône plein en acier; si on tire dessus il prendra naturellement la forme du câble, c'est comme la goutte de pluie qui à le CX le plus faible: au contact de l'air, elle prend naturellement la forme qui dépense le moins d’énergie pour l'avancement.

Dernière modification par Golgup (04-09-2011 11:55:38)

jpp · 04-09-2011 12:25:18

Bonjour.

@ Golgup

Moi , quand je regarde la nature autour de moi et que je n'habite pas Madagascar , j'y vois des formes concaves , et d'autant plus concaves que leur densité est élevée . le fut du peuplier est moins concave
que le fut du chène. Je parlais de Madagascar , parce que le baobab est comme une grosse plante gorgée
d'eau. Pour ce qui est de la construction , si Gustave Eiffel avait augmenté la densité de profilés métalliques
à sa tour , celle-ci aurait eu une concavité encore plus prononcée.
Pour la forme de mon cable j'y vois plutot un séquoia renversé.

Dernière modification par jpp (04-09-2011 12:27:13)

jpp · 04-09-2011 12:30:19

re.

Et ça donne quoi à S₁₅₀₀ ?

Golgup · 04-09-2011 12:34:16

t'in je m'emmêle trop la!

[tex]{S}_{L}=\left({S}_{i}+\frac{CP}{d.\rho .g}\right)\exp \left(\frac{d.\rho .g}{{R}_{p}}\left(L-i\right)\right)-\frac{CP}{d.\rho .g}[/tex]

c'est pas possible que ce soit faux ça

Dernière modification par Golgup (04-09-2011 12:42:20)

Golgup · 04-09-2011 12:46:19

pourquoi "plutôt un séquoia renversé", c'est bien la forme dont je parle.

[edit] avec d la densité de l'eau , mais on peut l'enlever de l'equation

Dernière modification par Golgup (04-09-2011 13:53:45)

Golgup · 05-09-2011 15:01:55

Re!

désolé, j’étais occupé avec les problèmes de rentrée... et puis en plus il faut résoudre une P....tin d’équation (2 changements de variables etc...) pour trouver S_1500

finalement en trifouillant il apparaît [tex]\frac{CP}{d.\rho .g}\,=\,[/tex] [tex]\frac{1}{\ln \left(\sqrt[{{IS}_{0}}_{}]{\frac{{S}_{I}}{{S}_{0}}}\right)}[/tex]

et donc [tex]{S}_{L}\,=\,[/tex][tex]\left({S}_{I}+\frac{I{S}_{0}}{\ln \left(\frac{{S}_{I}}{{S}_{0}}\right)}\right).{\left(\frac{{S}_{I}}{{S}_{0}}\right)}^{\frac{1}{{S}_{0}}\left(\frac{L}{I}-1\right)}-\frac{I{S}_{0}}{\ln \left(\frac{{S}_{I}}{{S}_{0}}\right)}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall I\in {\mathbb{N}}^{\times }[/tex]

Ce qui donne si j'ai pas fais d'erreur S_1500=2072.43 mm² ??

Dernière modification par Golgup (05-09-2011 16:00:52)

jpp · 05-09-2011 17:53:22

Bonsoir.

@ Golgup , Non, ce n'ai pas la bonne réponse.

ce week end Nérosson a posté puis retiré son post . l'idée n'était pas si mauvaise que ça.

à plus.

Golgup · 05-09-2011 21:00:50

@jpp

Tu me dis oui si je te dis que je vais tous revoir depuis le post 19?

jpp · 06-09-2011 06:15:55

Bonjour.

@ Golgup. regarde bien le poste #8 et tu peux écrire une équation.

et surtout écrit tout , parce que les formules brutes de pomme ne seront jamais lues car celui qui les écrit est
le seul à pouvoir les interprèter.

Et aussi quand tu trouves une formule , regarde en premier si elle a une chance de pouvoir etre bonne, c.a.d.
que tu dois avoir au final la meme unité dans les 2 membres de ton égalité. d.g est le produit de 2 densités

par exemple ce sont donc des 10⁶kg². m^-6

bon courage .

Dernière modification par jpp (06-09-2011 11:24:27)

Golgup · 07-09-2011 15:13:08

Re,

désolé de donner les résultats à la volée mais je préfère ne rien écrire plutôt Ecrire quelque chose d'incomplet: S_1500 = 1674.43

+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 31-08-2011 19:14:19

une autre histoire de cable .

#2 01-09-2011 18:04:15

Re : une autre histoire de cable .

#3 02-09-2011 16:19:38

Re : une autre histoire de cable .

#4 02-09-2011 18:01:55

Re : une autre histoire de cable .

#5 02-09-2011 18:21:08

Re : une autre histoire de cable .

#6 02-09-2011 18:49:48

Re : une autre histoire de cable .

#7 02-09-2011 19:46:18

Re : une autre histoire de cable .

#8 03-09-2011 08:13:34

Re : une autre histoire de cable .

#9 03-09-2011 10:09:37

Re : une autre histoire de cable .

#10 03-09-2011 11:17:32

Re : une autre histoire de cable .

#11 03-09-2011 11:31:07

Re : une autre histoire de cable .

#12 03-09-2011 11:33:45

Re : une autre histoire de cable .

#13 03-09-2011 12:05:01

Re : une autre histoire de cable .

#14 03-09-2011 16:17:58

Re : une autre histoire de cable .

#15 04-09-2011 11:17:06

Re : une autre histoire de cable .

#16 04-09-2011 11:42:14

Re : une autre histoire de cable .

#17 04-09-2011 12:25:18

Re : une autre histoire de cable .

#18 04-09-2011 12:30:19

Re : une autre histoire de cable .

#19 04-09-2011 12:34:16

Re : une autre histoire de cable .

#20 04-09-2011 12:46:19

Re : une autre histoire de cable .

#21 05-09-2011 15:01:55

Re : une autre histoire de cable .

#22 05-09-2011 17:53:22

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#23 05-09-2011 21:00:50

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#24 06-09-2011 06:15:55

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#25 07-09-2011 15:13:08

Re : une autre histoire de cable .

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