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D'giu

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Inscription : 06-12-2009

Messages : 21

Aide Séries entières

Bonjour,

j'ai quelques questions sur les séries entières:

1. Si [tex]w\in C,\,\sum^{}_{}{w}_{n}{z}^{n}\,a\,pour\,rayon\,de\,convergence\,R\,=\,1/w\,[/tex] .
Faux,  [tex]R\,\in \,\mathcal{R}+\,U\,{+\infty }[/tex] .

2. Si [tex]\left({a}_{n}{{z}_{0}}^{n}\right)\,est\,convergente,\,le\,rayon\,de\,convergence\,R\,de\,\sum^{}_{}{{a}_{n}z}^{n}\,vérifie\,R\geq |{{z}_{0}|}^{}[/tex]

3. Si [tex]\left({a}_{n}{{z}_{0}}^{n}\right)\,est\,divergente,\,le\,rayon\,de\,convergence\,R\,de\,\sum^{}_{}{{a}_{n}z}^{n}\,vérifie\,R\leq |{{z}_{0}|}^{}[/tex]

4. Si  [tex]|{{a}_{n}|\,\rightarrow \,\infty \,,\,\sum^{}_{}{a}_{n}{z}^{n}a\,un\,rayon\,de\,convergence\,R\,<\,1}^{}[/tex]

5. Si |an| ~ |bn|  [tex]\sum^{}_{}{{a}_{n}z}^{n}\,et\,\sum^{}_{}{b}_{n}{z}^{n}ont\,meme\,rayon\,de\,convergence.[/tex]

6. Si f est DSE sur ]-r,r[ alors elle de classe  [tex]C\infty [/tex]  <- vrai mais est ce que toutes ces dérivées sont majorées?

7. Si f est DSE sur ]-r,r[ et à valeurs positives sur cet intervalle, alors  [tex]x{\rightarrow \sqrt[]{}f\left(x\right)}_{}[/tex]  est DSE sur cet intervalle.

8. Si f et g sont DSE et que f o g existe, alors f o g est DSE.

9. cos(z)=a  a toujours une solution dans C.

10.  Si [tex]f\left(x\right)=\sum^{\infty }_{0}{a}_{n}{x}^{n}[/tex] et que f admet une limite finie à gauche en r alors [tex]\sum^{}_{}{a}_{n}{x}^{n}[/tex] converge.

Merci d'avance pour votre aide.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Aide Séries entières

Bonjour D'giu,

  Il pose de bons qcms ton prof!
Bon, les questions ne sont pas toutes du même niveau, mais je crois qu'il est important que tu saches par toi-même
répondre aux premières. Alors, reprenons,

1. OK, la bonne réponse est 1/|w|

2. et 3. Le lemme d'Abel, ca te dit quelque chose???

4. Et si tu faisais comme à la question 3.

5. Et si tu utilisais à nouveau le lemme d'Abel...

Fred.