Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Nathan.h

Membre

Inscription : 19-11-2017

Messages : 9

Quotient de suites

Bonjour,

J'ai un probleme avec une conjecture que je n'arrive pas à demontrer ou à en trouver un contre exemple :
Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites croissantes qui convergent vers $+\infty$, alors $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ ou $\left(\dfrac{v_n}{u_n}\right)$ converge.

Je ne sais pas prouver quoi que ce soit de plus faible qur cette affirmation ni a produire un presque contre exemple, j'ai tenté en mélangeant différente croissance , un coup sur quatre (tout en gardant la croissance) changer la vitesse de croissance de $v_n$ et prenant $u_n = n$, mais le quotient se comporte comme s'il faisait la moyenne des différents taux de croissances...

Bonne journée,
Nathan

Glozi

Invité

Re : Quotient de suites

Bonjour,
Posons $u_n=n$
et $v_n := \sup\{2^{2k} \ |\ 2^{2k}\leq n\}$ ($v_n$ est le plus grand $2^{2k}$ plus petit que $n$).

Alors on a $v_{2^{2n}}=2^{2n}=u_{2^{2n}}$
mais $v_{2^{2n+1}}=2^{2n}=\frac{1}{2}u_{2^{2n+1}}$

Cela montre que $u/v$ et $v/u$ ont au moins deux valeurs d'adhérence et ne convergent donc pas.
Bonne journée

Nathan.h

Membre

Inscription : 19-11-2017

Messages : 9

Re : Quotient de suites

Bonjour,
Super merci ! Qu'est ce qui vous a fait penser à cette suite ?

Je vais m'intéresser à une version plus faible alors, simplement borné et non plus convergeant.

Glozi

Invité

Re : Quotient de suites

Bonjour,
Si on part de $u_n=n$ l'idée est juste de trouver une suite $v$ qui prend beaucoup de retard sur $u$ (des retards de plus en plus grands) mais qui rattrape parfois instantanément $u_n$.

Exercice : trouver $u,v$ avec $u$ et $v$ croissantes qui divergent vers $+\infty$ telles que
$$\liminf_{n\to \infty} \frac{u_n}{v_n}=0 \text{ et } \limsup_{n\to \infty}\frac{u_n}{v_n}=+\infty.$$

▼un exemple de solution

Posons $u_n=n$. Posons $N_k = 2^{3^{k}}$, de sorte que $(N_{2k})^{3/2}\leq (N_{2k+1})^{1/2}$. Si $N_{2k}\leq n<N_{2k+1}$ on pose $v_n = (N_{2k})^{3/2}$ et si $N_{2k+1}\leq n <N_{2k+2}$ on pose $v_n=(N_{2k+1})^{1/2}$.
La suite $v$ est bien croissante et tend vers l'infini.
On a $$\frac{v_{N_{2k}}}{u_{N_{2k}}}\to \infty \text{ et }\frac{v_{N_{2k+1}}}{u_{N_{2k+1}}}\to 0.$$

Bonne journée