Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Lune66

Invité

Approche fréquentiste.

Bonjour à tous,

Soit une expérience aléatoire donnée [tex]\mathcal{E}[/tex], et un événement aléatoire [tex]A[/tex] pour cette expérience.
Supposons que l'on répète [tex]n[/tex] fois l’expérience [tex]\mathcal{E}[/tex].
Notons [tex]n_A[/tex] le nombre de fois où [tex]A[/tex] est réalisé.
La fréquence empirique de [tex]A[/tex] est, par définition, [tex]f_n (A) = \dfrac{n_{A}}{n}[/tex].
L'approche fréquentiste définit la probabilité que [tex]A[/tex] se réalise, par, [tex]\mathbb{P} (A) = \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } f_n (A) = \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } \dfrac{n_{A}}{n}[/tex].

Est ce qu'il existe un lien entre cette approche fréquentiste de définition de la notion de probabilité d'un événement [tex]A[/tex], et la notion de convergence en loi qui figure ici, https://www.bibmath.net/dico/index.php? … rgloi.html ?
Autrement dit, est ce qu'on peut exprimer ou reformuler cette approche fréquentiste de probabilité par la notion de convergence en loi ?

Merci d'avance.

Lune66

Invité

Re : Approche fréquentiste.

Je me pose cette question, parce que, je trouve qu'il y a une forte ressemblance entre la formule, [tex]\mathbb{P} (A) = \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } f_n (A) = \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } \dfrac{n_{A}}{n}[/tex], et la formule de convergence en loi, qui est, [tex]\mathbb{P} (X \in I) = \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } \mathbb{P} (X_n \in I) [/tex].
C'est pourquoi, je suis venue demander votre avis.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Approche fréquentiste.

Bonjour,

  L'approche fréquentiste est la traduction concrète de la loi des grands nombres. En effet, la loi des grands nombres permet d'interpréter la probabilité comme une limite de fréquence de réalisation.

F

DeGeer

Membre

Inscription : 28-09-2023

Messages : 222

Re : Approche fréquentiste.

Bonjour
Il s'agit d'une application de la loi des grands nombres.
On note $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ l'espace probabilisé univers de l'expérience aléatoire, $A$ un événement et $(X_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées définies par $X_n(\omega)=1$ si $\omega \in A$ et $X_n(\omega)=0$ sinon.
Les $X_n$ sont des variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $\mathbb{P}(A)$, et donc d'espérance $\mathbb{P}(A)$.
La loi forte des grands nombres dit que la variable aléatoire $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k$ qui est identique à ton $\frac{n_A}{n}$ converge presque sûrement vers $\mathbb{E}(X_n)=\mathbb{P}(A)$
De plus, la convergence presque sûre entraîne la convergence en probabilité qui entraîne la convergence en loi.

Lune66

Invité

Re : Approche fréquentiste.

Merci beaucoup DeGeer et Fred.  :-)