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Bonjour
Il s'agit d'une application de la loi des grands nombres.
On note $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ l'espace probabilisé univers de l'expérience aléatoire, $A$ un événement et $(X_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées définies par $X_n(\omega)=1$ si $\omega \in A$ et $X_n(\omega)=0$ sinon.
Les $X_n$ sont des variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $\mathbb{P}(A)$, et donc d'espérance $\mathbb{P}(A)$.
La loi forte des grands nombres dit que la variable aléatoire $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k$ qui est identique à ton $\frac{n_A}{n}$ converge presque sûrement vers $\mathbb{E}(X_n)=\mathbb{P}(A)$
De plus, la convergence presque sûre entraîne la convergence en probabilité qui entraîne la convergence en loi.

Je me pose cette question, parce que, je trouve qu'il y a une forte ressemblance entre la formule, [tex]\mathbb{P} (A) = \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } f_n (A) = \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } \dfrac{n_{A}}{n}[/tex], et la formule de convergence en loi, qui est, [tex]\mathbb{P} (X \in I) = \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } \mathbb{P} (X_n \in I) [/tex].
C'est pourquoi, je suis venue demander votre avis.