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Moussa Diarisso

Invité

Nombre complexe

Bonjour, aidez-moi à corriger cet exercice :
On pose P(z) = ?^4 − 6?^3 + 23?^2 − 34? + 26
1. u désigne un nombre complexe.
a) Montrer que P(conjugué de u) =conjugué de ?(?)
̅̅̅̅̅̅
b) En déduire que si P(u) = 0 alors P(conjugué de u) = 0.

Roro

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Re : Nombre complexe

Bonjour,

Qu'est ce que tu n'arrives pas à faire dans cet exercice ? Et qu'as-tu essayé ?

Rappelle toi des quelques règles sur la conjugaison complexe comme
$$\overline{z_1}+ \overline{z_2} = \overline{z_1+z_2} \quad \text{et} \quad \overline{z_1}\times \overline{z_2} = \overline{z_1\times z_2}.$$

Roro

Borassus

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Re : Nombre complexe

Bonsoir,

Je me permets d'ajouter au rappel de Roro que pour tout polynôme, quel que soit son degré et quels que soient ses coefficients, l'image du conjugué d'un nombre est égale au conjugué de l'image de ce nombre :
$P(\overline {z}) = \overline {P(z)}$

Ce qui entraîne que si un nombre complexe est solution de l'équation $P(z) = 0$, son conjugué est nécessairement aussi solution de cette équation.

Ce qui signifie aussi que les solutions complexes de l'équation $P(z) = 0$ vont obligatoirement par paires.

Par exemple, un polynôme de degré 5 pourra avoir

• une racine réelle et deux paires de racines complexes,

• ou trois racines réelles et une paire de racines complexes,

• ou cinq racines réelles

(le nombre de racines d'un polynôme est égal à son degré)

mais ne pourra pas avoir deux ou quatre racines réelles [ajouté : ni zéro racine réelle]

Dernière modification par Borassus (06-05-2024 23:34:35)

Roro

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Re : Nombre complexe

Bonsoir Borassus,

Je crois que la question posée par Moussa Diarisso (qui à mon avis ne lira jamais nos réponses) est exactement de montrer ce que tu affirmes :

Question 1 :

pour tout polynôme, quel que soit son degré et quels que soient ses coefficients, l'image du conjugué d'un nombre est égale au conjugué de l'image de ce nombre :
$P(\overline {z}) = \overline {P(z)}$

Question 2 :

Ce qui entraîne que si un nombre complexe est solution de l'équation $P(z) = 0$, son conjugué est nécessairement aussi solution de cette équation.

Voyons si les indications que j'ai données lui permettent d'avancer pour montrer le premier point !

Roro.

Dernière modification par Roro (06-05-2024 22:13:20)

Borassus

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Re : Nombre complexe

Bonjour Roro, bonjour à ceux qui suivent cette discussion,

Merci de ton appréciable mise en exergue.

Je n'écrivais pas spécialement à Moussa Diarisso (il est possible en effet qu'il ne lise pas nos réponses) mais aux élèves de Maths expertes rencontrant des exercices similaires.

L'exercice cité fait typiquement partie du nombre incommensurable d'exercices qui n'apportent rien, et qui donc ne servent à rien, car il traite d'un cas particulier correspondant à une logique générale importante qui, elle, devrait être traitée en cours, et non pas être cachée dans des exercices concernant des cas particuliers.

Bonne journée à tous