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#4 03-10-2023 05:15:51
- caesium
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Re : Inégalité
Bonjour,
Je croyais que c'était très simple mais finalement j'ai mis pas mal de temps à trouver une démonstration.
On aimerait faire une démonstration qui ressemble à [tex]x^2 -xy +y^2 \geq 1 \Rightarrow \dots \Rightarrow x^2 + y^2 \geq \frac{2}{3}[/tex]. Mais le [tex]-xy[/tex] est très génant et on aimerait s'en débarrasser. Dans ce genre de situation, le réflexe c'est de faire un changement de variable. La question est donc: lequel?
Pour trouver un bon changement de variable, on peut représenter les inéquations géométriquement. L'équation [tex]x^2 -xy +y^2 = 1[/tex] définit une ellipse [tex]\mathcal{E}[/tex] donc l'exercice revient à montrer que le cercle [tex]\mathcal{C}[/tex] d'equation [tex]x^2 + y^2 = \frac{2}{3}[/tex] est à l'intérieur de [tex]\mathcal{E}[/tex]. En traçant [tex]\mathcal{E}[/tex] dans GeoGebra il semble que [tex]\mathcal{E}[/tex] est centrée et inclinée de [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] radians. Voilà notre piste pour le changement de variable. Si on fait un changement de base en passant au plan incliné de [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] radians, l'équation de l'éllipse sera de la forme [tex]a x^2 + by^2 = c[/tex] (car non inclinée dans cette base) ce qui est beaucoup plus facile à majorer. De plus, un tel changement de base n'affecte pas l'équation du cercle qui est invariant par rotation.
Plus formellement, il faut trouver [tex](u, v)[/tex] les coordonnées de [tex](x, y)[/tex] dans le plan incliné de [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] radians. Ensuite, exprimer [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex] en fonction de [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex] pour injecter dans l'inégalité de départ. Une fois tout simplifier, faire apparaitre l'inéquation de cercle [tex]u^2 + v^2 \geq \frac{2}{3}[/tex]. Pour finir, exprimer [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex] en fonction de [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex] pour injecter, simplifier, conclure.
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#5 03-10-2023 09:11:30
- Zebulor
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Re : Inégalité
Bonjour,
Soient $x$ et $y$ deux réels, montrer que si $x^2-xy+y^2>=1$ alors $x^2+y^2>=2/3$
D'après caesium le problème serait équivalent à répondre à la question : Soient $x$ et $y$ deux réels, montrer que si $x^2+y^2<2/3$ alors $x^2-xy+y^2<1$
En faisant des changements de variables plutôt sympathiques sur $x$ et $y$ c'est simple à démontrer ...
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#7 03-10-2023 10:45:12
- Zebulor
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Re : Inégalité
Re,
ah voilà ..j'avais l'idée de partir de $(x-y)^2 \geq 0$ et $(x+y)^2 \geq 0$ .. Et Fred est passé par là pour résumer ces deux inégalités en une seule.
caesium a eu une bonne idée, mais de là à évoquer des changements de base et autres rotations, "faut reconnaître c'est du brutal" pour reprendre une réplique du film "les Tontons flingueurs"
Dernière modification par Zebulor (03-10-2023 13:07:08)
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#8 04-10-2023 02:05:05
- caesium
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- Messages : 2
Re : Inégalité
évoquer des changements de base et autres rotations, "faut reconnaître c'est du brutal" pour reprendre une réplique du film "les Tontons flingueurs"
En effet ça semble un peu brutal si on est pas familier avec ça. L'idée de parler du changement de base était surtout de montrer qu'on peut motiver le choix d'un bon changement de variable sans le "deviner", sans le "sortir de son chapeau". Même si ici l'expression est finalement relativement simple donc ce n'est pas trop compliqué de le deviner.
Dernière modification par caesium (04-10-2023 02:10:37)
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#10 11-10-2023 14:37:47
- cailloux
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Re : Inégalité
Bonjour à tous,
Une solution alternative en passant par les complexes :
Posons $x+iy=re^{i\theta}=r(\cos\,\theta+i\sin\,\theta )$
La première inégalité se traduit par $r^2\geq \dfrac{1}{1-\dfrac{\sin\,2\theta}{2}}$
d'où on déduit, compte tenu que $\sin\,2\theta\geq -1$, $x^2+y^2=r^2\geq \dfrac{2}{3}$
Dernière modification par cailloux (11-10-2023 15:01:11)
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