Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous,
Une solution alternative en passant par les complexes :

Posons $x+iy=re^{i\theta}=r(\cos\,\theta+i\sin\,\theta )$

La première inégalité se traduit par $r^2\geq \dfrac{1}{1-\dfrac{\sin\,2\theta}{2}}$

d'où on déduit, compte tenu que $\sin\,2\theta\geq -1$, $x^2+y^2=r^2\geq \dfrac{2}{3}$

En effet ça semble un peu brutal si on est pas familier avec ça. L'idée de parler du changement de base était surtout de montrer qu'on peut motiver le choix d'un bon changement de variable sans le "deviner", sans le "sortir de son chapeau". Même si ici l'expression est finalement relativement simple donc ce n'est pas trop compliqué de le deviner.

Bonjour,

  Et sans faire de changements de variables, est-ce qu'on ne peut pas utiliser tout simplement que $|xy|\leq (x^2+y^2)/2$,
ce qui se démontre en utilisant que $(|x|-|y|)^2\geq 0$....?

F.

Bonjour,

Je croyais que c'était très simple mais finalement j'ai mis pas mal de temps à trouver une démonstration.
On aimerait faire une démonstration qui ressemble à [tex]x^2 -xy +y^2 \geq 1 \Rightarrow \dots \Rightarrow x^2 + y^2 \geq \frac{2}{3}[/tex]. Mais le [tex]-xy[/tex] est très génant et on aimerait s'en débarrasser. Dans ce genre de situation, le réflexe c'est de faire un changement de variable. La question est donc: lequel?

Pour trouver un bon changement de variable, on peut représenter les inéquations géométriquement. L'équation [tex]x^2 -xy +y^2 = 1[/tex] définit une ellipse [tex]\mathcal{E}[/tex] donc l'exercice revient à montrer que le cercle [tex]\mathcal{C}[/tex] d'equation [tex]x^2 + y^2 = \frac{2}{3}[/tex] est à l'intérieur de [tex]\mathcal{E}[/tex]. En traçant [tex]\mathcal{E}[/tex] dans GeoGebra il semble que [tex]\mathcal{E}[/tex] est centrée et inclinée de [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] radians. Voilà notre piste pour le changement de variable. Si on fait un changement de base en passant au plan incliné de [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] radians, l'équation de l'éllipse sera de la forme [tex]a x^2 + by^2 = c[/tex] (car non inclinée dans cette base) ce qui est beaucoup plus facile à majorer. De plus, un tel changement de base n'affecte pas l'équation du cercle qui est invariant par rotation.

Plus formellement, il faut trouver [tex](u, v)[/tex] les coordonnées de [tex](x, y)[/tex] dans le plan incliné de [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] radians. Ensuite, exprimer [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex] en fonction de [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex] pour injecter dans l'inégalité de départ. Une fois tout simplifier, faire apparaitre l'inéquation de cercle [tex]u^2 + v^2 \geq \frac{2}{3}[/tex]. Pour finir, exprimer [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex] en fonction de [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex] pour injecter, simplifier, conclure.

Bonjour, aidez moi svp de trouver la solution.