Forum de mathématiques - Bibm@th.net

destro251

Membre

Inscription : 29-12-2022

Messages : 3

simplification: 2 | x |

Bonjour, je ne comprends pas comment on passe de ce qu'il y a au dénominateur de la deuxième égalité à 2 | x |

https://drive.google.com/file/d/1n8-bK4 … share_link

Dernière modification par destro251 (29-12-2022 19:00:39)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : simplification: 2 | x |

Bonsoir,

Si tu regardais ta formule de plus près, tu verrais qu'on commence par $\sqrt{x^2+4x+1}-\sqrt{x^2+x+1}$ soit encore
$\dfrac{\sqrt{x^2+4x+1}-\sqrt{x^2+x+1}}{1}$ et qu'on passe à $\dfrac{3x} {\sqrt{x^2+4x+1}+\sqrt{x^2+x+1}}$
Que s'est-il passé ?

On obtient une fraction égale à une fraction donnée en multipliant numérateur et dénominateur par un même nombre.
Ici, on a multiplié haut et bas  par la quantité conjuguée de  $\sqrt{x^2+4x+1}-\sqrt{x^2+x+1}$  c'est à dire $\sqrt{x^2+4x+1}+\sqrt{x^2+x+1}$ :

$\dfrac{\sqrt{x^2+4x+1}-\sqrt{x^2+x+1}}{1}=\dfrac{(\sqrt{x^2+4x+1}-\sqrt{x^2+x+1}))(\sqrt{x^2+4x+1}+\sqrt{x^2+x+1})}{\sqrt{x^2+4x+1}+\sqrt{x^2+x+1}}$

Maintenant, penche-toi sur l'expression :
$(\sqrt{x^2+4x+1}-\sqrt{x^2+x+1}))(\sqrt{x^2+4x+1}+\sqrt{x^2+x+1})$
Ne vois-tu pas que c'est l'identité remarquable $(\sqrt A - \sqrt B)(\sqrt A + \sqrt B)$ ?
Et donc que:
$(\sqrt A - \sqrt B)(\sqrt A + \sqrt B)= (\sqrt A)^2 - (\sqrt B)^2 = A - B$ ?

Alors, calcule et simplifie : $(\sqrt{x^2+4x+1}-\sqrt{x^2+x+1}))(\sqrt{x^2+4x+1}+\sqrt{x^2+x+1})$ et la lumière se fera....

Dans les calculs de limites, la multiplication ou la division par la quantité conjuguée lèvent souvent une indétermination : s'en souvenir !

@+

destro251

Membre

Inscription : 29-12-2022

Messages : 3

Re : simplification: 2 | x |

Bonsoir,

Merci de votre réponse mais j'avais déjà compris l'étape du binôme conjugué dans ce calcul de limite.

Ce que je ne comprends pas c'est la suite du calcul ( comment on a fait pour passer de √(x^2+4x+1)+√(x^2+x+1) à 2|x| ).

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : simplification: 2 | x |

Bonsoir !

Si x tend vers l'infini, comment se comportent x²+4x+1 et x²+x+1 ?

Puis si on prend la racine carrée ?

Bons réfléchissements !

Bernard-maths

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : simplification: 2 | x |

Re,

Effectivement...
Lorsque $x  \to\pm\infty$,  $x+1$ est "négligeable" devant $x^2$ et  $4x+1$ est aussi "négligeable" devant $x^2$
Tu peux voir ça graphiquement en traçant les courbes d'équations $y =x^2$, $y =x+1$ et $y =4x+1$ et regarder ce qui se passe aux infinis...
En conséquence, $\sqrt{x^2+4x+1}\approx \sqrt{x^2}$ et $\sqrt{x^2+x+1}\approx \sqrt{x^2}$
D'où :
$\sqrt{x^2+4x+1}+\sqrt{x^2+4x+1}\approx \sqrt{x^2}+\sqrt{x^2}$
et
$\sqrt{x^2+4x+1}+\sqrt{x^2+4x+1}\approx 2\sqrt{x^2}$
Maintenant il faut faire sauter les radicaux et on sait que $\sqrt{x^2}=|x|$ (c'est du cours) 

Une racine carrée est toujours positive.
Prenons, par exemple :
$\sqrt{(-2)^2}$, sa valeur est 2 donc -(-2)
Quant à $\sqrt{2^2}$ c'est 2...
Donc,
$\sqrt{x^2}$ est $x$ si $x>0$
$\sqrt{x^2}$ est $-x$ si $x<0$
Et ça c'est la définition de |x|
Donc  $\forall x\in \mathbb R$ on a $\sqrt{x^2}=|x|$

Revenons à nos moutons :
$\sqrt{x^2+4x+1}+\sqrt{x^2+4x+1}\approx 2\sqrt{x^2}$ soit  $\sqrt{x^2+4x+1}+\sqrt{x^2+4x+1}\approx 2|x|$

Cette fois, j'ai pris mon temps, j'ai tout revérifié...

@+

[EDIT] B_m m'a grillé !

Dernière modification par yoshi (29-12-2022 21:56:28)

destro251

Membre

Inscription : 29-12-2022

Messages : 3

Re : simplification: 2 | x |

Bonsoir,
Merci, je viens de comprendre ce qui n'allait pas.
il fallait juste prendre les plus haut degrés de la fraction car c'est une limite qui tend vers +/- infini mais je ne savais pas qu'on pouvait additionner les deux valeurs du dénominateur lorsque ceux-ci sont égaux (d'où |x|+|x| = 2|x|) .

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : simplification: 2 | x |

Bonsoir !

Il reste à déterminer le signe + ou - de la limite 3/2, selon que x tend vers + infini ou vers - infini ...

B-m