Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
- Accueil
- » Entraide (collège-lycée)
- » simplification: 2 | x |
- » Répondre
Répondre
Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Bernard-maths
- 29-12-2022 22:14:12
Bonsoir !
Il reste à déterminer le signe + ou - de la limite 3/2, selon que x tend vers + infini ou vers - infini ...
B-m
- destro251
- 29-12-2022 22:01:46
Bonsoir,
Merci, je viens de comprendre ce qui n'allait pas.
il fallait juste prendre les plus haut degrés de la fraction car c'est une limite qui tend vers +/- infini mais je ne savais pas qu'on pouvait additionner les deux valeurs du dénominateur lorsque ceux-ci sont égaux (d'où |x|+|x| = 2|x|) .
- yoshi
- 29-12-2022 21:55:54
Re,
Effectivement...
Lorsque $x \to\pm\infty$, $x+1$ est "négligeable" devant $x^2$ et $4x+1$ est aussi "négligeable" devant $x^2$
Tu peux voir ça graphiquement en traçant les courbes d'équations $y =x^2$, $y =x+1$ et $y =4x+1$ et regarder ce qui se passe aux infinis...
En conséquence, $\sqrt{x^2+4x+1}\approx \sqrt{x^2}$ et $\sqrt{x^2+x+1}\approx \sqrt{x^2}$
D'où :
$\sqrt{x^2+4x+1}+\sqrt{x^2+4x+1}\approx \sqrt{x^2}+\sqrt{x^2}$
et
$\sqrt{x^2+4x+1}+\sqrt{x^2+4x+1}\approx 2\sqrt{x^2}$
Maintenant il faut faire sauter les radicaux et on sait que $\sqrt{x^2}=|x|$ (c'est du cours)
Une racine carrée est toujours positive.
Prenons, par exemple :
$\sqrt{(-2)^2}$, sa valeur est 2 donc -(-2)
Quant à $\sqrt{2^2}$ c'est 2...
Donc,
$\sqrt{x^2}$ est $x$ si $x>0$
$\sqrt{x^2}$ est $-x$ si $x<0$
Et ça c'est la définition de |x|
Donc $\forall x\in \mathbb R$ on a $\sqrt{x^2}=|x|$
Revenons à nos moutons :
$\sqrt{x^2+4x+1}+\sqrt{x^2+4x+1}\approx 2\sqrt{x^2}$ soit $\sqrt{x^2+4x+1}+\sqrt{x^2+4x+1}\approx 2|x|$
Cette fois, j'ai pris mon temps, j'ai tout revérifié...
@+
[EDIT] B_m m'a grillé !
- Bernard-maths
- 29-12-2022 21:19:09
Bonsoir !
Si x tend vers l'infini, comment se comportent x2+4x+1 et x2+x+1 ?
Puis si on prend la racine carrée ?
Bons réfléchissements !
Bernard-maths
- destro251
- 29-12-2022 20:24:08
Bonsoir,
Merci de votre réponse mais j'avais déjà compris l'étape du binôme conjugué dans ce calcul de limite.
Ce que je ne comprends pas c'est la suite du calcul ( comment on a fait pour passer de √(x^2+4x+1)+√(x^2+x+1) à 2|x| ).
- yoshi
- 29-12-2022 19:51:34
Bonsoir,
Si tu regardais ta formule de plus près, tu verrais qu'on commence par $\sqrt{x^2+4x+1}-\sqrt{x^2+x+1}$ soit encore
$\dfrac{\sqrt{x^2+4x+1}-\sqrt{x^2+x+1}}{1}$ et qu'on passe à $\dfrac{3x} {\sqrt{x^2+4x+1}+\sqrt{x^2+x+1}}$
Que s'est-il passé ?
On obtient une fraction égale à une fraction donnée en multipliant numérateur et dénominateur par un même nombre.
Ici, on a multiplié haut et bas par la quantité conjuguée de $\sqrt{x^2+4x+1}-\sqrt{x^2+x+1}$ c'est à dire $\sqrt{x^2+4x+1}+\sqrt{x^2+x+1}$ :
$\dfrac{\sqrt{x^2+4x+1}-\sqrt{x^2+x+1}}{1}=\dfrac{(\sqrt{x^2+4x+1}-\sqrt{x^2+x+1}))(\sqrt{x^2+4x+1}+\sqrt{x^2+x+1})}{\sqrt{x^2+4x+1}+\sqrt{x^2+x+1}}$
Maintenant, penche-toi sur l'expression :
$(\sqrt{x^2+4x+1}-\sqrt{x^2+x+1}))(\sqrt{x^2+4x+1}+\sqrt{x^2+x+1})$
Ne vois-tu pas que c'est l'identité remarquable $(\sqrt A - \sqrt B)(\sqrt A + \sqrt B)$ ?
Et donc que:
$(\sqrt A - \sqrt B)(\sqrt A + \sqrt B)= (\sqrt A)^2 - (\sqrt B)^2 = A - B$ ?
Alors, calcule et simplifie : $(\sqrt{x^2+4x+1}-\sqrt{x^2+x+1}))(\sqrt{x^2+4x+1}+\sqrt{x^2+x+1})$ et la lumière se fera....
Dans les calculs de limites, la multiplication ou la division par la quantité conjuguée lèvent souvent une indétermination : s'en souvenir !
@+
- destro251
- 29-12-2022 18:48:20
Bonjour, je ne comprends pas comment on passe de ce qu'il y a au dénominateur de la deuxième égalité à 2 | x |